Dada la función , se pide:
a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y los mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.
Solución:
a) Se trata de una función racional. Su dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los que anulan el denominador:
El dominio es .
- Punto de corte eje x (y=0):
Corta al eje x en (0,0). - Punto de corte eje y (x=0):
Corta al eje y en (0,0).
b) Cálculo de asíntotas:
- Asíntota vertical:
Existe una asíntota vertical y su ecuación es y=2. - Asíntota horizontal:
ya que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. No existe asíntota horizontal. - Asíntota oblicua
:
Existe una asíntota oblicua y su ecuación es.
c) Nos piden estudiar la monotonía de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos:
ecuación cuyas soluciones son x=4, x=0.
Con estos puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio completamos la siguiente tabla:
- Decrece en
.
- Crece en
d) Según la monotonía, observamos un mínimo en x=0 cuyo valor es , y un máximo en x=4 con valor
.
e) A partir de los datos obtenidos en los apartados anteriores podemos hacer un esbozo de la gráfica de f semejante a la siguiente gráfica:
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