Problema 626

Dada la función $f(x)=\dfrac{x^2}{2-x}$ , se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y los mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.

Solución:

a) Se trata de una función racional. Su dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los que anulan el denominador:

$2-x=0~;\\\\x=2$

El dominio es $\mathbb R\setminus\{2\}$ .

Punto de corte eje x (y=0):
$0=\dfrac{x^2}{2-x}~;\\0=x^2~;\\x=0$
Corta al eje x en (0,0).
Punto de corte eje y (x=0):
$y=\dfrac{0^2}{2-0}=0$
Corta al eje y en (0,0).

b) Cálculo de asíntotas:

Asíntota vertical:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x^2}{2-x}=\dfrac4{0^-}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}\dfrac{x^2}{2-x}=\dfrac4{0^+}=+\infty$
Existe una asíntota vertical y su ecuación es y=2.
Asíntota horizontal:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2-x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{-x}=\infty$
ya que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. No existe asíntota horizontal.
Asíntota oblicua $(y=mx+n)$ :
$\displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2}{x(2-x)}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2}{2x-x^2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2}{-x^2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}-1=-1$
$\displaystyle\bullet~n=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2}{2-x}-(-1)x=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2}{2-x}+x=\\=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2+2x-x^2}{2-x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{2x}{2-x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{2x}{-x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}-2=-2$
Existe una asíntota oblicua y su ecuación es $y=-x-2$ .

c) Nos piden estudiar la monotonía de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

$f'(x)=\dfrac{2x(2-x)-x^2(-1)}{(2-x)^2}=\dfrac{4x-2x^2+x^2}{(2-x)^2}=\dfrac{4x-x^2}{(2-x)^2}=0~;\\\\4x-x^2=0~;\\\\(4-x)x=0$

ecuación cuyas soluciones son x=4, x=0.
Con estos puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio completamos la siguiente tabla:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,2)&(2,4)&(4,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&+&-\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}$