Problema 626

Dada la función f(x)=\dfrac{x^2}{2-x}, se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y los mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.


Solución:

a) Se trata de una función racional. Su dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los que anulan el denominador:

2-x=0~;\\\\x=2

El dominio es \mathbb R\setminus\{2\}.

  • Punto de corte eje x (y=0):
    0=\dfrac{x^2}{2-x}~;\\0=x^2~;\\x=0
    Corta al eje x en (0,0).
  • Punto de corte eje y (x=0):
    y=\dfrac{0^2}{2-0}=0
    Corta al eje y en (0,0).

b) Cálculo de asíntotas:

  • Asíntota vertical:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x^2}{2-x}=\dfrac4{0^-}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}\dfrac{x^2}{2-x}=\dfrac4{0^+}=+\infty
    Existe una asíntota vertical y su ecuación es y=2.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2-x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{-x}=\infty
    ya que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. No existe asíntota horizontal.
  • Asíntota oblicua (y=mx+n):
    \displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2}{x(2-x)}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2}{2x-x^2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2}{-x^2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}-1=-1
    \displaystyle\bullet~n=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2}{2-x}-(-1)x=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2}{2-x}+x=\\=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2+2x-x^2}{2-x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{2x}{2-x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{2x}{-x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}-2=-2
    Existe una asíntota oblicua y su ecuación es y=-x-2.

c) Nos piden estudiar la monotonía de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{2x(2-x)-x^2(-1)}{(2-x)^2}=\dfrac{4x-2x^2+x^2}{(2-x)^2}=\dfrac{4x-x^2}{(2-x)^2}=0~;\\\\4x-x^2=0~;\\\\(4-x)x=0

ecuación cuyas soluciones son x=4, x=0.
Con estos puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio completamos la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,2)&(2,4)&(4,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&+&-\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Decrece en (-\infty,0)\cup(4,+\infty).
  • Crece en (0,2)\cup(2,4)

d) Según la monotonía, observamos un mínimo en x=0 cuyo valor es f(0)=0, y un máximo en x=4 con valor f(4)=\dfrac{16}{-2}=-8.


e) A partir de los datos obtenidos en los apartados anteriores podemos hacer un esbozo de la gráfica de f semejante a la siguiente gráfica:

p626

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