Problema 627

En una cierta ciudad, las dos terceras partes de los hogares tienen una Smart TV, de los cuales, las tres octavas partes han contratado algún servicio de televisión de pago, porcentaje que baja a 30% si consideramos el total de hogares. Si se elige un hogar al azar

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga Smart TV pero sí haya contratado televisión de pago?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga Smart TV si sabemos que ha contratado televisión de pago?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga Smart TV si sabemos que no ha contratado televisión de pago?


Solución:

Definimos S al suceso “hogar con una Smart TV” y T al suceso “tener contratado televisión de pago”.
A partir del enunciado sabemos que

\bullet~P[S]=\dfrac23\\\bullet~P[T/S]=\dfrac38\\\bullet~P[T]=\dfrac{30}{100}=\dfrac3{10}

a) Probabilidad de que no tenga Smart TV y haya contratado televisión de pago P[\overline S\cap T]:
Sabemos que P[\overline S\cap T]=P[\overline S]\cdot P[T/\overline S], y también sabemos que

P[T]=P[S]\cdot P[T/S]+P[\overline S]\cdot P[T/\overline S]

Combinando ambas expresiones

P[T]=P[S]\cdot P[T/S]+P[\overline S\cap T]~;\\\\P[\overline S\cap T]=P[T]-P[S]\cdot P[T/S]~;\\\\P[\overline S\cap T]=\dfrac3{10}-\dfrac23\cdot\dfrac38=\dfrac1{20}


b) La probabilidad de que tenga Smart TV si tiene contratado televisión de pago P[S/T]:
En este caso, utilizamos el teorema de Bayes:

P[S/T]=\dfrac{P[S]\cdot P[T/S]}{P[T]}=\dfrac{\frac23\cdot\frac38}{\frac3{10}}=\dfrac56


c) La probabilidad de que no tenga Smart TV sabiendo que no ha contratado televisión de pago es P[\overline S/\overline T]:
Sabemos que

P[\overline S/\overline T]=\dfrac{P[\overline S\cap\overline T]}{P[\overline T]}

Según una de las leyes de Morgan:

P[\overline S\cap\overline T]=P[\overline{S\cup T}]

Luego:

P[\overline S/\overline T]=\dfrac{P[\overline{S\cup T}]}{P[\overline T]}=\dfrac{1-P[S\cup T]}{1-P[T]}

Calculamos P[S\cup T]:

P[S\cup T]=P[S]+P[T]-P[S\cap T]=P[S]+P[T]-P[S]\cdot P[T/S]=\\\\=\dfrac23+\dfrac3{10}-\dfrac23\cdot\dfrac38=\dfrac{43}{60}

Por último:

P[\overline S/\overline T]=\dfrac{1-P[S\cup T]}{1-P[T]}=\dfrac{1-\frac{43}{60}}{1-\frac3{10}}=\dfrac{17}{42}

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