Problema 628

Dadas las matrices

A=\begin{pmatrix}3&1\\1&1\end{pmatrix}\text{ y }B=\begin{pmatrix}0&2\\-1&2\end{pmatrix}

Se pide:

a) Calcular (AB)^{-1}.
b) Calcular AB^t-A^tB.
c) Resolver la ecuación B^tX+A^tB=A^t.

siendo A^t\text{ y }B^t las matrices traspuestas de A y B respectivamente.


Solución:

a) Calculamos AB:

AB=\begin{pmatrix}3&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&8\\-1&4\end{pmatrix}

Y ahora calculamos su inversa utilizando la fórmula:

\boxed{(AB)^{-1}=\dfrac1{|AB|}\cdot(\text{Adj}(AB))^t}

|AB|=\begin{vmatrix}-1&8\\-1&4\end{vmatrix}=4

\text{Adj}(AB)=\begin{pmatrix}4&1\\-8&-1\end{pmatrix}

Luego

(AB)^{-1}=\dfrac14\cdot\begin{pmatrix}4&-8\\1&-1\end{pmatrix}


b) Calcular AB^t-A^tB.

AB^t-A^tB=\begin{pmatrix}3&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\2&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2\\-1&2\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}2&-1\\2&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1&8\\-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-9\\3&-3\end{pmatrix}


c) Despejamos X de la ecuación matricial B^tX+A^tB=A^t:

B^tX+A^tB=A^t~;\\\\B^tX=A^t-A^tB~;\\\\X=(B^t)^{-1}(A^t-A^tB)

Calculamos los elementos necesarios:

A^t-A^tB=\begin{pmatrix}3&1\\1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1&8\\-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-7\\2&-3\end{pmatrix}

Sabiendo que (B^t)^{-1}=(B^{-1})^t, calculamos la inversa de B utilizando la fórmula:

\boxed{B^{-1}=\dfrac1{|B|}\cdot(\text{Adj }B)^t}

|B|=\begin{vmatrix}0&2\\-1&2\end{vmatrix}=2

\text{Adj }B=\begin{pmatrix}2&1\\-2&0\end{pmatrix}

B^{-1}=\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}2&-2\\1&0\end{pmatrix}

(B^t)^{-1}=(B^{-1})^t=\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}2&1\\-2&0\end{pmatrix}

Luego

X=(B^t)^{-1}(A^t-A^tB)=\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}2&1\\-2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-7\\2&-3\end{pmatrix}=\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}10&-17\\-8&14\end{pmatrix}

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