Problema 629

En los primeros 6 años, una empresa obtuvo unos beneficios (en decenas de miles de euros) que pueden representarse mediante la función f(t)=t^3-8t^2+15t, donde t es el tiempo en años transcurridos.

a) Determinar los periodos en los que la empresa tuvo beneficios y en los que tuvo pérdidas.
b) ¿En qué valor de t se alcanzó el máximo beneficio y cuál fue este?
c) ¿En qué valor de t se tuvo la máxima pérdida y cuál fue esta?
d) Suponiendo que a partir de los 6 años los beneficios siguen la misma función, ¿volverá a tener la empresa periodos alternos de beneficios y pérdidas? Justifica la respuesta.


Solución:

a) De lo que trata este ejercicio es de definir en qué intervalos de tiempo el beneficio es positivo y negativo. Comenzamos calculando las raíces de f:

f(t)=t^3-8t^2+15t=0~;\\\\t(t^2-8t+15)=0

Ecuación cuyas soluciones son t=0, t=3, t=5. Estudiaremos el signo de f en los 6 primeros años de la empresa:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline t&(0,3)&(3,5)&(5,6)\\\hline\mbox{Signo }f(t)&+&-&+\\\hline\end{array}

Luego, la empresa tiene beneficios en t\in(0,3)\cup(5,6), y tiene pérdidas en t\in(3,5).


b) Nos piden el máximo de f, para ello comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(t)=3t^2-16t+15=0

ecuación de segundo grado cuyas raíces son t=\dfrac{8\pm\sqrt{19}}3 que de manera aproximada valen t=1.21 y t=4.12.
Dado que f es una función polinómica, entonces es continua y derivable en todo su dominio.
Evaluamos la función en los extremos del dominio y en los puntos críticos:

f(0)=0\\f(1.21)=8.21\\f(4.12)=-4.06\\f(6)=18

Luego, los máximos beneficios en los 6 primeros años de la empresa se obtuvieron para t=6 años, siendo este beneficio de 180.000 €.


c) Según lo visto en el apartado anterior podemos asegurar que la máxima pérdida se obtiene para t=4.12 años, siendo ésta pérdida de 40.600 €.


d) Dado que f es una función polinómica, es continua y derivable en todo \mathbb R.
Observamos en el apartado b) que a partir del punto crítico t=4.12 la función es estrictamente creciente (de no ser así, tendría que haber otro punto crítico posterior a t=4.12), por lo que no habrá más periodos alternos de beneficios y pérdidas.

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