Problema 631

Se tiene el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{rl}y-z&=1-a\\-x+z&=5\\-ax+y-z&=1\end{array}\right.

donde a es un parámetro real. Se pide obtener razonadamente:

a) Los valores del parámetro a para los cuales el sistema es compatible determinado.
b) Las soluciones del sistema cuando a=3.
c) Las soluciones del sistema para los valores de a que lo hacen compatible indeterminado.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\-a&1&-1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}0&1&-1&1-a\\-1&0&1&5\\-a&1&-1&1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M a través de su determinante:

\begin{vmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\-a&1&-1\end{vmatrix}=-a+1-1=-a

determinante cuya raíz es a=0, entonces:

  • Si a≠0, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, por lo que el sistema es compatible determinado.
  • Si a=0, entonces M=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix} es de rango 2 ya que \begin{vmatrix}0&1\\-1&0\end{vmatrix}=1\neq0. Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}0&1&1\\-1&0&5\\0&1&1\end{vmatrix}=-1+1=0
    Por lo que el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado.

Resumiendo, el sistema es compatible determinado para todo valor real excepto a=0.


b) Para a=3 el sistema es compatible determinado, cómo vimos antes. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}-2&1&-1\\5&0&1\\1&1&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\-3&1&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{1-5+5+2}{-3}=-1

y=\dfrac{\begin{vmatrix}0&-2&-1\\-1&5&1\\-3&1&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\-3&1&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{6+1-15+2}{-3}=2

z=\dfrac{\begin{vmatrix}0&1&-2\\-1&0&5\\-3&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\-3&1&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{-15+2+1}{-3}=4


c) Como dijimos en el apartado a), el sistema es compatible indeterminado para a=0. En este caso el sistema original es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}y-z&=1\\-x+z&=5\end{array}\right.

que resolvemos parametrizando z=λ:

\left\{\begin{array}{rl}y&=1+\lambda\\-x&=5-\lambda\end{array}\right.

La solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=-5+\lambda\\y=1+\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

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