Problema 632

Dados los puntos A(-1,2,\lambda),~B(2,3,5),~C(3,5,3), donde λ es un parámetro real, se pide obtener razonadamente:

a) El valor del parámetro λ para que el segmento AC sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo de vértices A, B y C.
b) El área del triángulo de vértices A, B y C cuando λ=6.
c) La ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices A, B y C cuando λ=6.


Solución:

a) Definimos los siguientes vectores:

\overrightarrow{AC}=(3,5,3)-(-1,2,\lambda)=(4,3,3-\lambda)\\\overrightarrow{AB}=(2,3,5)-(-1,2,\lambda)=(3,1,5-\lambda)\\\overrightarrow{BC}=(3,5,3)-(2,3,5)=(1,2,-2)

triángulo

Que el segmento AC sea la hipotenusa del triángulo implica que los vectores \overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{BC} son perpendiculares.
Aplicamos la condición de perpendicularidad a los vectores \overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{BC}:

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=3\cdot1+1\cdot2+(5-\lambda)\cdot(-2)=3+2-10+2\lambda=2\lambda-5=0

de donde \lambda=\frac52.


b) Con λ=6 tenemos los vectores:

\overrightarrow{AC}=(4,3,-3)\\\overrightarrow{AB}=(3,1,-1)\\\overrightarrow{BC}=(1,2,-2)

El área S del triángulo se obtiene como aplicación del producto vectorial de vectores:

S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\4&3&-3\\1&2&-2\end{vmatrix}=-6\vec\imath-3\vec\jmath+8\vec k-3\vec k+8\vec\jmath+6\vec\imath=(0,5,5)

Luego

S=\dfrac{\sqrt{0^2+5^2+5^2}}2=\dfrac{\sqrt{50}}2\text{ u.a.}


c) El plano π que contiene a los tres puntos tiene por vector normal al vector \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,5,5). Además este plano pasa por el punto A(-1,2,6).
Con estos datos, es fácil obtener la ecuación implícita de dicho plano:

\pi:~5y+5z+D=0

imponemos que pase por el punto A para obtener el coeficiente D:

5\cdot2+5\cdot6+D=0~;\\\\10+30+D=0~;\\\\D=-40

El plano buscado es \pi:~5y+5z-40=0 o simplificando

\pi:~y+z-8=0

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