Problema 632

Dados los puntos $A(-1,2,\lambda),~B(2,3,5),~C(3,5,3)$ , donde λ es un parámetro real, se pide obtener razonadamente:

a) El valor del parámetro λ para que el segmento AC sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo de vértices A, B y C.
b) El área del triángulo de vértices A, B y C cuando λ=6.
c) La ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices A, B y C cuando λ=6.

Solución:

a) Definimos los siguientes vectores:

$\overrightarrow{AC}=(3,5,3)-(-1,2,\lambda)=(4,3,3-\lambda)\\\overrightarrow{AB}=(2,3,5)-(-1,2,\lambda)=(3,1,5-\lambda)\\\overrightarrow{BC}=(3,5,3)-(2,3,5)=(1,2,-2)$

Que el segmento AC sea la hipotenusa del triángulo implica que los vectores $\overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{BC}$ son perpendiculares.
Aplicamos la condición de perpendicularidad a los vectores $\overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{BC}$ :

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=3\cdot1+1\cdot2+(5-\lambda)\cdot(-2)=3+2-10+2\lambda=2\lambda-5=0$

de donde $\lambda=\frac52$ .

b) Con λ=6 tenemos los vectores:

$\overrightarrow{AC}=(4,3,-3)\\\overrightarrow{AB}=(3,1,-1)\\\overrightarrow{BC}=(1,2,-2)$

El área S del triángulo se obtiene como aplicación del producto vectorial de vectores:

$S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\4&3&-3\\1&2&-2\end{vmatrix}=-6\vec\imath-3\vec\jmath+8\vec k-3\vec k+8\vec\jmath+6\vec\imath=(0,5,5)$

Luego

$S=\dfrac{\sqrt{0^2+5^2+5^2}}2=\dfrac{\sqrt{50}}2\text{ u.a.}$

c) El plano π que contiene a los tres puntos tiene por vector normal al vector $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,5,5)$ . Además este plano pasa por el punto A(-1,2,6).
Con estos datos, es fácil obtener la ecuación implícita de dicho plano: