Dados los puntos , donde λ es un parámetro real, se pide obtener razonadamente:
a) El valor del parámetro λ para que el segmento AC sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo de vértices A, B y C.
b) El área del triángulo de vértices A, B y C cuando λ=6.
c) La ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices A, B y C cuando λ=6.
Solución:
a) Definimos los siguientes vectores:
Que el segmento AC sea la hipotenusa del triángulo implica que los vectores son perpendiculares.
Aplicamos la condición de perpendicularidad a los vectores :
de donde .
b) Con λ=6 tenemos los vectores:
El área S del triángulo se obtiene como aplicación del producto vectorial de vectores:
Luego
c) El plano π que contiene a los tres puntos tiene por vector normal al vector . Además este plano pasa por el punto A(-1,2,6).
Con estos datos, es fácil obtener la ecuación implícita de dicho plano:
imponemos que pase por el punto A para obtener el coeficiente D:
El plano buscado es o simplificando
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