Problema 633

Dada la función f(x)=\dfrac1{x^2-x}, se pide obtener razonadamente:

a) El dominio y las asíntotas de la función f.
b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f.
c) El área limitada por la curva y=f(x), el eje de abscisas y las rectas x=2 y x=3.


Solución:

a) La función f es de tipo racional y su dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los que anulan el denominador:

x^2-x=0~;\\x(x-1)=0

Ecuación que tiene por soluciones x=0 y x=1, luego, el dominio de f es \mathbb R\setminus\{0,1\}.

Calculamos las asíntotas:

  • Asíntotas verticales:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac1{x^2-x}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac1{x^2-x}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac1{x^2-x}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac1{x^2-x}=-\infty
    Luego, tenemos dos asíntotas verticales de ecuaciones x=0 y x=1.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{x^2-x}=0^+\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac1{x^2-x}=0^+
    f también tiene una asíntota horizontal de ecuación y=0.
  • Asíntota oblicua: no tiene.

b) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{-(2x-1)}{(x^2-x)^2}=0~;\\\\2x-1=0~;\\\\x=\dfrac12

Con este punto crítico y teniendo en cuenta el dominio estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,\frac12)&(\frac12,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+&-&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(-\infty,0)\cup(0,\frac12).
  • Decrece en x\in(\frac12,1)\cup(1,+\infty).

c) En el intervalo comprendido entre x=2 y x=3, f es continua y derivable, es decreciente y tiende a 0⁺ cuando x tiende a +∞, por tanto, entre esos valores f es siempre positiva.
Teniendo ésto en cuenta, el área buscada es:

\displaystyle A=\int_2^3\dfrac1{x^2-x}~dx

Se trata de una integral racional con raíces reales simples en el denominador x=0 y x=1. Escribimos:

\dfrac1{x^2-x}=\dfrac Ax+\dfrac B{x-1}=\dfrac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)}

de donde

1=A(x-1)+Bx

  • Para x=0 se tiene 1=-A, de donde A=-1.
  • Para x=1 se tiene 1=B.

Luego:

\displaystyle A=\int_2^3\dfrac1{x^2-x}~dx=\int_2^3\left(\dfrac{-1}x+\dfrac1{x-1}\right)~dx=\\\\=\Big[-\ln|x|+\ln|x-1|\Big]_2^3=\Big(-\ln(3)+\ln(2)\Big)-\Big(-\ln(2)+\ln(1)\Big)=\\\\=2\ln(2)-\ln(3)=\ln\left(\frac43\right)\text{ u.a.}

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