Problema 634

Sea A una matriz cuadrada tal que A^2+2A=3I, donde I es la matriz identidad. Calcular razonadamente:

a) Los valores de a y b para los cuales A^{-1}=aA+bI.
b) Los valores de α y β para los cuales A^4=\alpha A+\beta I.
c) El determinante de la matriz 2B⁻¹, sabiendo que B es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante es 2.


Solución:

a) Multiplicamos por A la ecuación matricial A^{-1}=aA+bI:

A^{-1}=aA+bI~;\\\\AA^{-1}=aAA+bAI~;\\\\I=aA^2+bA

ya que AA^{-1}=I. Multiplicamos ahora la ecuación matricial por 3:

I=aA^2+bA~;\\\\3I=3aA^2+3bA

Según el enunciado 3I=A^2+2A, luego

3aA^2+3bA=A^2+2A

de donde resulta

\left\{\begin{array}{l}3a=1\\3b=2\end{array}\right.

cuya solución es a=\frac13,~b=\frac23.


b) Según el enunciado A^2+2A=3I, luego

A^2=3I-2A

Por otra parte, A^4=(A^2)^2. Tomamos nuestra ecuación matricial y sustituimos:

A^4=\alpha A+\beta I~;\\\\(A^2)^2=\alpha A+\beta I~;\\\\(3I-2A)^2=\alpha A+\beta I~;\\\\9I^2+4A^2-12A=\alpha A+\beta I

ya que IA=AI=A. Simplificamos el resultado

9I^2+4A^2-12A=\alpha A+\beta I~;\\\\9I+4(3I-2A)-12A=\alpha A+\beta I~;\\\\21I-20A=\beta I+\alpha A

de donde \beta=21,~\alpha=-20.


c) Para resolver este apartado utilizamos las propiedades de los determinantes.

|2B^{-1}|\underset{P.6}=2^3|B^{-1}|=8|B^{-1}|\underset{P.4}=8\cdot\dfrac1{|B|}=\dfrac82=4

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