Problema 635

Dados el punto P(5,7,3) y la recta r:~\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+1}3=\dfrac z2, se pide obtener razonadamente:

a) La recta s que corta a la recta r, pasa por el punto P, y es perpendicular a la recta r.
b) La distancia del punto P a la recta r.
c) La distancia del punto B(1,1,1) al plano π que pasa por (3,-1,0) y es perpendicular a r.


Solución:

a) Escribimos la recta r en paramétricas:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=3-\lambda\\y=-1+3\lambda\\z=2\lambda\end{array}\right.

p620Un punto cualquiera de r tendrá la forma P_r=(3-\lambda,-1+3\lambda,2\lambda).
Construimos el vector \overrightarrow{PP_r}:

\overrightarrow{PP_r}=(3-\lambda,-1+3\lambda,2\lambda)-(5,7,3)=(-2-\lambda,-8+3\lambda,2\lambda-3)

Imponemos que el vector \overrightarrow{PP_r} sea perpendicular al vector director de r, \vec v_r=(-1,3,2), aplicando la condición de perpendicularidad de vectores:

\overrightarrow{PP_r}\cdot\vec v_r=2+\lambda-24+9\lambda+4\lambda-6=14\lambda-28=0

de donde \lambda=\frac{28}{14}=2.
Si \lambda=2, entonces \overrightarrow{PP_r}=(-4,-2,1).

La recta s buscada es la que pasa por P y tiene el vector director \overrightarrow{PP_r}, en forma vectorial:

s:~(x,y,z)=(5,7,3)+\mu(-4,-2,1)


b) Para calcular la distancia de un punto a una recta se suele utilizar la fórmula:

\boxed{d(P,r)=\dfrac{|\vec v_r\times\overrightarrow{PP_r}|}{|\vec v_r|}}

donde P_r es un punto cualquiera de la recta r, por ejemplo, P_r(3,-1,0) que es fácil de observar a partir de sus ecuaciones paramétricas r.

Entonces:

\bullet~\overrightarrow{PP_r}=(3,-1,0)-(5,7,3)=(-2,-8,-3)

\bullet~\vec v_r\times\overrightarrow{PP_r}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-1&3&2\\-2&-8&-3\end{vmatrix}=-9\vec\imath-4\vec\jmath+8\vec k+6\vec k-3\vec\jmath+16\vec\imath=(7,-7,14)

\bullet~|\vec v_r\times\overrightarrow{PP_r}|=\sqrt{7^2+(-7)^2+14^2}=\\\\=\sqrt{49+49+4\cdot49}=\sqrt{49(1+1+4)}=7\sqrt{6}

\bullet~|\vec v_r|=\sqrt{(-1)^2+3^2+2^2}=\sqrt{14}

Luego la distancia buscada es:

d(P,r)=\dfrac{7\sqrt{6}}{\sqrt{14}}=\sqrt{21}\text{ u.l.}


c) Por ser el plano π perpendicular a r, su vector normal será proporcional al vector director de r, \vec v_r=(-1,3,2)=\vec n_\pi. Sabiendo esto, la ecuación implícita de π tiene la forma:

\pi:~-x+3y+2z+D=0

Imponemos que π pase por el punto (3,-1,0):

-3+3\cdot(-1)+2\cdot0+D=0~;\\-3-3+D=0~;\\D=6

Luego, el plano π es:

\pi:~-x+3y+2z+6=0

Calculamos la distancia desde el punto B(1,1,1) al plano π recordando la fórmula de la distancia entre un punto y un plano:

d(B,\pi)=\dfrac{|-1+3\cdot1+2\cdot1+6|}{\sqrt{(-1)^2+3^2+2^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{14}}=\dfrac{5\sqrt{14}}7\text{ u.l.}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s