Problema 636

Se divide un alambre de longitud 100 cm en dos partes. Con una de ellas, de longitud x, se construye un triángulo equilátero y con la otra, de longitud 100-x, se construye un cuadrado. Se pide obtener razonadamente:

a) La función de la variable x que expresa la suma de las áreas del triángulo equilátero y del cuadrado, siendo 0\leq x\leq100.
b) El valor de la variable x en el intervalo [0,100] para el cuál dicha función (suma de las áreas en función de x obtenida en el apartado a)) alcanza su mínimo valor.
c) El valor de la variable x en el intervalo [0,100] para el cual dicha función alcanza su máximo valor. Interpretar el resultado obtenido.


Solución:

p636a

a) Con el alambre de longitud x construimos un triángulo equilátero de lado 2a, es decir, x=6a.

Con el trozo de longitud 100-x construimos un cuadrado de lado b:

p636c

Luego, 100-x=4b.

Nos piden calcular el área de ambas figuras. En el caso del triángulo, el área es A_t=\dfrac{2a\cdot h}2. Escribimos h en función de a utilizando el teorema de Pitágoras en la siguiente figura:

p636bh^2=(2a)^2-a^2~;\\\\h=\sqrt{4a^2-a^2}~;\\\\h=a\sqrt3

Luego el área del triángulo es:

A_t=\dfrac{2a\cdot a\sqrt3}2=a^2\sqrt3

Por otra parte, el área del cuadrado es A_c=b^2.
Sumando las dos áreas nos queda el área total A:

A=a^2\sqrt3+b^2

Dado que x=6a y que 100-x=4bEl , entonces el área en función de x es:

A(x)=\left(\dfrac x6\right)^2\cdot\sqrt3+\left(\dfrac{100-x}4\right)^2=\dfrac{x^2\sqrt3}{36}+\dfrac{(100-x)^2}{16}


b) Comenzamos calculando los puntos críticos de la función A:

A'(x)=\dfrac{2x\sqrt3}{36}-\dfrac{2(100-x)}{16}=\dfrac{x\sqrt3}{18}-\dfrac{100-x}{8}=0~;\\\\\dfrac{x\sqrt3}{18}=\dfrac{100-x}{8}~;\\\\4x\sqrt3=9(100-x)~;\\\\4\sqrt3x=900-9x~;\\\\(4\sqrt3+9)x=900~;\\\\x=\dfrac{900}{4\sqrt3+9}\approx56.5

Caracterizamos este punto crítico utilizando el test de la derivada segunda:

A''(x)=\dfrac{\sqrt3}{18}+\dfrac18

Resultado que es positivo para todo valor de x, en particular para nuestro punto crítico, luego, se trata de un mínimo para el valor de la suma de áreas.


c) Dado que la función A es una función polinómica entonces es continua y derivable en todo su dominio.
En x=\dfrac{900}{4\sqrt3+9} tenemos un mínimo, luego, los candidatos a máximos los extremos del dominio x=0 y x=100. Veamos cual es:

A(x)=\dfrac{x^2\sqrt3}{36}+\dfrac{(100-x)^2}{16}~;\\\\\bullet~A(0)=\dfrac{100^2}{16}=625\\\\\bullet~A(100)=\dfrac{100^2\sqrt3}{36}=481.1

Luego, el máximo en el valor de la suma de áreas se obtiene para x=0, es decir, utilizando todo el alambre para construir el cuadrado. Su área sería de 625 cm².

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