Problema 637

Dado el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=1\\(a-1)y+z&=0\\x+ay+(a-1)z&=a\end{array}\right.

donde a es un parámetro real, se pide obtener razonadamente:

a) Los valores del parámetros a para los cuales el sistema es compatible.
b) Las soluciones del sistema cuando a=1.
c) La solución del sistema cuando a=0.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&a-1&1\\1&a&a-1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\0&a-1&1&0\\1&a&a-1&a\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&1&0\\0&a-1&1\\1&a&a-1\end{vmatrix}=(a-1)^2+1-a=a^2+1-2a+1-a=a^2-3a+2

determinante que vale 0 para a=2 y a=1.

  • Si a≠2 y a≠1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, por lo que el sistema es compatible determinado.
  • Si a=2, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&2&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0. Veamos cuál es el rango de M*:
    \begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&0\\1&2&2\end{vmatrix}=2-1=1\neq0
    Luego el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.
  • Si a=1, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0. Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{vmatrix}=0
    Por lo que el rango de M* es 2 y el sistema es compatible indeterminado.

En resumen, el sistema es compatible para todo valor real de a excepto a=2.


b) Cuando a=1, el sistema equivalente al original sería:

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=1\\y+z&=0\end{array}\right.

que resolvemos parametrizando x=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}y&=1-\lambda\\y+z&=0\end{array}\right.

Es fácil ver la solución del sistema:

(x,y,z)=(\lambda,1-\lambda,-1+\lambda)


c) Según vimos en el apartado a), para a=0 el sistema es compatible determinado. Las matrices de coeficientes y ampliada son:

M=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\0&-1&1&0\\1&0&-1&0\end{pmatrix}

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\0&-1&1\\0&0&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1\end{vmatrix}}=\dfrac12

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\0&0&1\\1&0&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{1}2

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{1}2

La solución es (x,y,z)=(\frac12,\frac12,\frac12).

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