Problema 638

Se tiene el plano \pi:~x-y+z-3=0, la recta s:\left\{\begin{array}{l}x-2y=0\\z=0\end{array}\right. y el punto A(1,1,1). Obtener razonadamente:

a) La recta que pasa por A, corta a la recta s y es paralela al plano π.
b) El plano que pasa por A, es perpendicular al plano π y paralelo a la recta s.
c) Discute si el punto (3,2,1) está en la recta paralela a s que pasa por (5,3,1).


Solución:

a) Construimos un plano α paralelo a π:

\alpha:~x-y+z+D=0

Hacemos que este plano pase por el punto A(1,1,1):

1-1+1+D=0\rightarrow D=-1

Por lo que el plano paralelo a π que pasa por A es:

\alpha:~x-y+z-1=0

Calculamos el punto B donde α se corta con la recta s resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones implícitas:

\left\{\begin{array}{l}x-y+z-1=0\\x-2y=0\\z=0\end{array}\right.

sistema cuya solución es (x,y,z)=(2,1,0) que son las coordenadas del punto B(2,1,0).

La recta r buscada, es la que pasa por A y tiene la dirección el vector \overrightarrow{AB}:

\overrightarrow{AB}=(2,1,0)-(1,1,1)=(1,0,-1)

Luego, la recta r en forma vectorial es:

(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(1,0,-1)


b) Nos piden un plano β perpendicular a π, por lo que uno de los vectores directores de β será el vector normal de π:

\vec v_1=\vec n_\pi=(1,-1,1)

Nos piden que el plano β sea paralelo a la recta s, por lo que el otro vector director de β será el vector director de s. Calculamos el vector director de s:

s:\left\{\begin{array}{l}x-2y=0\\z=0\end{array}\right.

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-2&0\\0&0&1\end{vmatrix}=-2\vec\imath-\vec\jmath=(-2,-1,0)

Con el punto A(1,1,1) y los dos vectores directores, ya podemos escribir la ecuación del plano β, por ejemplo, en forma vectorial:

\beta:~(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(1,-1,1)+\mu(-2,-1,0)


c) La recta t paralela a s, cuyo vector director es, como vimos, \vec v_s=(-2,-1,0), y que pasa por el punto (5,3,1), es en paramétricas:

t:~\left\{\begin{array}{l}x=5-2\lambda\\y=3-\lambda\\z=1\end{array}\right.

Veamos si el punto (3,2,1) pertenece a esta recta:

\left\{\begin{array}{l}3=5-2\lambda\rightarrow\lambda=1\\2=3-\lambda\rightarrow\lambda=1\\1=1\rightarrow\forall\lambda\end{array}\right.

Es decir, que el punto (3,2,1) pertenece a la recta t (dando a λ el valor 1).

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