Problema 639

Consideramos la función f(x)=ax^3+bx^2+cx\cdot\cos(\pi x), que depende de los parámetros a, b y c. Obtener razonadamente:

a) La relación entre los coeficientes a, b y c sabiendo que f toma el valor 22 cuando x=1.
b) La relación que deben verificar los coeficientes a, b y c para que sea horizontal la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P de dicha curva, sabiendo que la abscisa del punto P es x=1.
c) \displaystyle\int_0^1x\cdot\cos(\pi x)~dx.


Solución:

a) Sabemos que f(1)=22, luego

f(1)=a\cdot1^3+b\cdot1^2+c\cdot1\cdot\cos(\pi\cdot1)=a+b+c\cdot\cos(\pi)=a+b-c

La relación buscada es

a+b-c=22


b) En el punto de abscisa x=1, f tiene recta tangente horizontal, luego f'(1)=0:

f'(x)=3ax^2+2bx+c\cdot\cos(\pi x)-cx\cdot\text{sen}(\pi x)\cdot\pi\\f'(1)=3a+2b-c

Luego, la relación buscada es:

3a+2b-c=0


c) Primero calculamos la integral indefinida \displaystyle\int x\cdot\cos(\pi x)~dx utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=x&\rightarrow&du=dx\\dv=\cos(\pi x)~dx&\rightarrow&v=\dfrac1{\pi}\text{sen}(\pi x)\end{array}

\displaystyle\int x\cdot\cos(\pi x)~dx=x\dfrac1{\pi}\text{sen}(\pi x)-\int\dfrac1{\pi}\text{sen}(\pi x)=\\\\=\dfrac{x\text{sen}(\pi x)}{\pi}+\dfrac{\cos(\pi x)}{\pi^2}=\dfrac{\pi x\;\text{sen}(\pi x)+\cos(\pi x)}{\pi^2}+k

Una vez calculada la integral indefinida aplicamos la regla de Barrow para calcular la integral definida:

\displaystyle\int_0^1x\cdot\cos(\pi x)~dx=\left[\dfrac{\pi x\;\text{sen}(\pi x)+\cos(\pi x)}{\pi^2}\right]_0^1=\\\\=\left(\dfrac{\pi\;\text{sen}(\pi)+\cos(\pi)}{\pi^2}\right)-\left(\dfrac{\cos(0)}{\pi^2}\right)=\dfrac{-2}{\pi^2}

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