Problema 640

Resolver los siguientes apartado:

a) Dadas A y B, matrices cuadradas del mismo orden tales que AB=A y BA=B, deducir que A^2=A y que B^2=B.

b) Dada la matriz A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, se pide encontrar los parámetros a y b para que la matriz B=\begin{pmatrix}a&0\\1&b\end{pmatrix} cumpla que B^2=B pero AB\neq A y que BA\neq B.

c) Sabiendo que \begin{vmatrix}x&1&0\\y&2&1\\z&3&2\end{vmatrix}=3, obtener razonadamente el valor de los determinantes

\begin{vmatrix}2x&1&0\\2y&2&1\\2z&3&2\end{vmatrix}\qquad\begin{vmatrix}x+1&1&0\\y+3&2&1\\z+5&3&2\end{vmatrix}


Solución:

a) Dado que AB=A y que BA=B, entonces:

A^2=A\cdot A=AB\cdot A=A\cdot BA=A\cdot B=AB=A\\\\B^2=B\cdot B=BA\cdot B=B\cdot AB=B\cdot A=BA=B


b) Calculamos B²:

B^2=\begin{pmatrix}a&0\\1&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\1&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2&0\\a+b&b^2\end{pmatrix}

Ha de ser B²=B:

\begin{pmatrix}a^2&0\\a+b&b^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&0\\1&b\end{pmatrix}

de donde se obtiene el sistema:

\left\{\begin{array}{l}a^2=a\\a+b=1\\b^2=b\end{array}\right.

cuyas soluciones son:

a^2=a\rightarrow a^2-a=0\rightarrow a(a-1)=0~;\\a=0,~a=1\\\\b^2=b\rightarrow b^2-b=0\rightarrow b(b-1)=0~;\\b=0,~b=1

Dado que a+b=1, entonces:

  • Si a=0, entonces b=1.
  • Si a=1, entonces b=0.

Las soluciones del sistema son (a,b)=(0,1)\text{ y }(a,b)=(1,0).
Veamos cuál de estas soluciones verifican que AB\neq A y que BA\neq B.

  • Caso (a,b)=(1,0)
    AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=A
    No es válido.
  • Caso (a,b)=(0,1)
    AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\neq A
    BA=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\neq B

Luego, la solución es (a,b)=(0,1).


c) Para calcular estos determinantes utilizaremos las propiedades de los determinantes:

\bullet~\begin{vmatrix}2x&1&0\\2y&2&1\\2z&3&2\end{vmatrix}\underset{P.6}=2\begin{vmatrix}x&1&0\\y&2&1\\z&3&2\end{vmatrix}=2\cdot3=6

\bullet~\begin{vmatrix}x+1&1&0\\y+3&2&1\\z+5&3&2\end{vmatrix}\underset{P.7}=\begin{vmatrix}x&1&0\\y&2&1\\z&3&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&1&0\\3&2&1\\5&3&2\end{vmatrix}=3+0=3

Observamos que el segundo determinante vale 0 por la propiedad 1 de los determinantes: la primera columna es suma de la segunda y la tercera.

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