Dada la recta , se pide obtener razonadamente:

a) Las ecuaciones paramétricas de la recta r.
b) La ecuación del plano π que es paralelo a r y pasa por los puntos (5,0,1) y (4,1,0).
c) La distancia entre la recta r y el plano π obtenido en el apartado anterior.

Solución:

a) Parametrizamos la recta haciendo el cambio y=λ:

de donde

b) Por ser paralelo a r, uno de los vectores directores de π será el vector director de r, .
Para que el plano π pase por los puntos (5,0,1) y (4,1,0), el segundo vector director de π será el que se obtenga con ambos puntos:

Observamos que ambos vectores directores no son paralelos pues no cumplen la condición de paralelismo.

Y tomando uno cualquiera de los dos puntos anteriores, ya tenemos el plano π cuya ecuación vectorial es:

En forma implícita es:

Simplificando el resultado:

c) La distancia entre una recta y un plano paralelos es, como se explica aquí, igual a la distancia entre un punto cualquiera de la recta a ese plano.

Un punto cualquiera de r es , como se ve a partir de sus ecuaciones paramétricas en el apartado a). Luego:

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