Problema 641

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II,

Dada la recta r:~\left\{\begin{array}{rl}x+y&=3\\x+4y-z&=8\end{array}\right., se pide obtener razonadamente:

a) Las ecuaciones paramétricas de la recta r.
b) La ecuación del plano π que es paralelo a r y pasa por los puntos (5,0,1) y (4,1,0).
c) La distancia entre la recta r y el plano π obtenido en el apartado anterior.

Solución:

a) Parametrizamos la recta haciendo el cambio y=λ:

\left\{\begin{array}{rl}x&=3-\lambda\\x-z&=8-4\lambda\end{array}\right.

de donde

\left\{\begin{array}{l}x=3-\lambda\\y=\lambda\\z=-5+3\lambda\end{array}\right.

b) Por ser paralelo a r, uno de los vectores directores de π será el vector director de r, \vec v_r=(-1,1,3)=\vec v_1.
Para que el plano π pase por los puntos (5,0,1) y (4,1,0), el segundo vector director de π será el que se obtenga con ambos puntos:

\vec v_2=(4,1,0)-(5,0,1)=(-1,1,-1)

Observamos que ambos vectores directores \vec v_1\text{ y }\vec v_2 no son paralelos pues no cumplen la condición de paralelismo.

Y tomando uno cualquiera de los dos puntos anteriores, ya tenemos el plano π cuya ecuación vectorial es:

\pi:~(x,y,z)=(5,0,1)+\lambda(-1,1,3)+\mu(-1,1,-1)

En forma implícita es:

\begin{vmatrix}x-5&y&z-1\\-1&1&3\\-1&1&-1\end{vmatrix}-(x-5)-3y-(z-1)+(z-1)-y-3(x-5)=\\\\=-4(x-5)-4y=-4x-4y+20=0

Simplificando el resultado:

\pi:~x+y-5=0

c) La distancia entre una recta y un plano paralelos es, como se explica aquí, igual a la distancia entre un punto cualquiera de la recta a ese plano.

Un punto cualquiera de r es P_r=(3,0,-5), como se ve a partir de sus ecuaciones paramétricas en el apartado a). Luego:

d(r,\pi)=d(P_r,\pi)=\dfrac{|3+0-5|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\dfrac2{\sqrt2}=\sqrt2\text{ u.l.}

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