Dada la recta , se pide obtener razonadamente:
a) Las ecuaciones paramétricas de la recta r.
b) La ecuación del plano π que es paralelo a r y pasa por los puntos (5,0,1) y (4,1,0).
c) La distancia entre la recta r y el plano π obtenido en el apartado anterior.
Solución:
a) Parametrizamos la recta haciendo el cambio y=λ:
de donde
b) Por ser paralelo a r, uno de los vectores directores de π será el vector director de r, .
Para que el plano π pase por los puntos (5,0,1) y (4,1,0), el segundo vector director de π será el que se obtenga con ambos puntos:
Observamos que ambos vectores directores no son paralelos pues no cumplen la condición de paralelismo.
Y tomando uno cualquiera de los dos puntos anteriores, ya tenemos el plano π cuya ecuación vectorial es:
En forma implícita es:
Simplificando el resultado:
c) La distancia entre una recta y un plano paralelos es, como se explica aquí, igual a la distancia entre un punto cualquiera de la recta a ese plano.
Un punto cualquiera de r es , como se ve a partir de sus ecuaciones paramétricas en el apartado a). Luego:
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