Problema 642

Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat II,

Dentro de una cartulina rectangular se desea hacer un dibujo que ocupe un rectángulo R de 600 cm² de área de manera que:

  • Por encima y por debajo de R deben quedar unos márgenes de 3 cm de altura cada uno.
  • Los márgenes a izquierda y a derecha de R deben tener una anchura de 2 cm cada uno.

Obtener razonadamente:

a) El área de la cartulina en función de la base x del rectángulo R.
b) El valor de x para el cual el área de la cartulina es mínimo.
c) Las dimensiones de dicha cartulina de área mínimo.

Solución:

p642

a) La cartulina, según vemos en la siguiente imagen, se compone de una región R para dibujar, y de márgenes. Las dimensiones de la cartulina son (x+4)\times(y+6). Las dimensiones de la región de dibujo R son x\times y.

Nos piden el área de la cartulina A en función de x:

A=(x+4)(y+6)

El área de la región R es de 600 cm², entonces se cumple que:

x\cdot y=600\rightarrow y=\dfrac{600}x

luego

A(x)=(x+4)\left(\dfrac{600}x+6\right)

Simplificamos el resultado:

A(x)=(x+4)\left(\dfrac{600+6x}x\right)=\dfrac{600x+6x^2+2400+24x}x\\\\A(x)=\dfrac{6x^2+624x+2400}x

b) Nos piden minimizar el área de la cartulina A. Para ello calculamos sus puntos críticos:

A'(x)=\dfrac{(12x+624)x-(6x^2+624x+2400)}{x^2}=\\\\=\dfrac{12x^2+624x-6x^2-624x-2400}{x^2}=\dfrac{6x^2-2400}{x^2}=0~;\\\\6x^2=2400~;\\\\x^2=400~;\\\\x=\pm20

Descartamos el valor -20 pues la longitud de la cartulina es positiva. Nos queda solo el punto crítico x=20.
Caracterizamos éste punto crítico utilizando el test de la derivada segunda:

A''(x)=\dfrac{12x\cdot x^2-(6x^2-2400)2x}{x^4}=\dfrac{12x^3-12x^3+4800x}{x^4}=\dfrac{4800}{x^3}\\\\A''(20)=\dfrac{4800}{20^3}>0

Por tanto, en x=20, la función área de la cartulina alcanza un mínimo.

c) Las dimensiones de la cartulina eran de (x+4)\times(y+6). Para x=20 tenemos que:

y=\dfrac{600}{20}=30

Luego, las dimensiones de la cartulina son de 24×36 (en cm×cm).

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