Problema 643

Se da el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{rl}2x+3z&=\alpha\\x-2y+2z&=5\\3x-y+5z&=\alpha+1\end{array}\right.

donde α es un parámetro real. Obtener razonadamente:

a) Los valores de α para los que el sistema es compatible y determinado.
b) La solución del sistema cuando α=-1.
c) El valor de α para que el sistema tenga una solución (x,y,z) que verifique x+y+z=0.


Solución:

a) Recordamos el teorema de Rouché-Fröbenius para discutir sistemas de ecuaciones.
Escribimos el sistema en forma matricial:

\begin{pmatrix}2&0&3\\1&-2&2\\3&-1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha\\5\\\alpha+1\end{pmatrix}

Para que el sistema sea compatible determinado ha de ser el rango de la matriz de coeficientes igual a 3. Dicho de otro modo, su determinante ha de ser distinto de 0:

\begin{vmatrix}2&0&3\\1&-2&2\\3&-1&5\end{vmatrix}=-20-3+18+4=-1\neq0

Por tanto, el rango de la matriz de coeficientes es 3 independientemente de α y el sistema es compatible determinado para todo α.


b) Para α=-1, el sistema es compatible determinado

\begin{pmatrix}2&0&3\\1&-2&2\\3&-1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\5\\0\end{pmatrix}

y lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}-1&0&3\\5&-2&2\\0&-1&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&0&3\\1&-2&2\\3&-1&5\end{vmatrix}}=\dfrac{10-15-2}{-1}=7

y=\dfrac{\begin{vmatrix}2&-1&3\\1&5&2\\3&0&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&0&3\\1&-2&2\\3&-1&5\end{vmatrix}}=\dfrac{50-6-45+5}{-1}=-4

z=\dfrac{\begin{vmatrix}2&0&-1\\1&-2&5\\3&-1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&0&3\\1&-2&2\\3&-1&5\end{vmatrix}}=\dfrac{1-6+10}{-1}=-5


c) Para un valor α cualquiera, resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}\alpha&0&3\\5&-2&2\\\alpha+1&-1&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&0&3\\1&-2&2\\3&-1&5\end{vmatrix}}=\dfrac{-10\alpha-15+6\alpha+6+2\alpha}{-1}=2\alpha+9

y=\dfrac{\begin{vmatrix}2&\alpha&3\\1&5&2\\3&\alpha+1&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&0&3\\1&-2&2\\3&-1&5\end{vmatrix}}=\dfrac{50+6\alpha+3\alpha+3-45-5\alpha-4\alpha-4}{-1}=-4

z=\dfrac{\begin{vmatrix}2&0&\alpha\\1&-2&5\\3&-1&\alpha+1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&0&3\\1&-2&2\\3&-1&5\end{vmatrix}}=\dfrac{-4\alpha-4-\alpha+6\alpha+10}{-1}=-\alpha-6

Ahora debe verificarse x+y+z=0. Sustituimos la solución del sistema en ésta ecuación:

2\alpha+9+(-4)+(-\alpha-6)=0~;\\\\\alpha-1=0

de donde α=1.

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