Problema 644

Se da el plano \pi:~2x+y+2z=8 y el punto P=(10,0,10). Obtener razonadamente:

a) La distancia del punto P al plano π.
b) El área del triángulo cuyos vértices son los puntos A, B y C, obtenidos al hallar la intersección del plano π con los ejes de coordenadas.
c) El volumen del tetraedro cuyos vértices son P, A, B y C.


Solución:

a) Recordamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano aquí.

d(P,\pi)=\dfrac{|2\cdot10+0+2\cdot10-8|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\dfrac{32}3\text{ u.l.}


b) Recordamos en primer lugar las ecuaciones implícitas de los ejes de coordenadas:

\text{Eje x:}~\left\{\begin{array}{l}y=0\\z=0\end{array}\right.\\\text{Eje y:}~\left\{\begin{array}{l}x=0\\z=0\end{array}\right.\\\text{Eje z:}~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.

Calculamos los puntos A, B y C resolviendo los siguientes sistemas:

 

A=\pi\cap\text{Eje x}=\left\{\begin{array}{l}2x+y+2z=8\\y=0\\z=0\end{array}\right.\rightarrow A=(4,0,0)\\B=\pi\cap\text{Eje y}=\left\{\begin{array}{l}2x+y+2z=8\\x=0\\z=0\end{array}\right.\rightarrow B=(0,8,0)\\C=\pi\cap\text{Eje z}=\left\{\begin{array}{l}2x+y+2z=8\\x=0\\y=0\end{array}\right.\rightarrow C=(0,0,4)

p459

Los puntos A, B y C forman un triángulo cuyo área S es:

\boxed{S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2}

\overrightarrow{AB}=(0,8,0)-(4,0,0)=(-4,8,0)\\\overrightarrow{AC}=(0,0,4)-(4,0,0)=(-4,0,4)\\\\\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-4&8&0\\-4&0&4\end{vmatrix}=32\vec\imath+32\vec k+16\vec\jmath=(32,16,32)

El área S es:

S=\dfrac{\sqrt{32^2+16^2+32^2}}2=\dfrac{\sqrt{2304}}2=\sqrt{576}=24\text{ u.a.}


c) El volumen V del tetraedro formado por los cuatro puntos P, A, B y C es:

\boxed{V=\dfrac{|[\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}]|}6}

\overrightarrow{PA}=(4,0,0)-(10,0,10)=(-6,0,-10)\\\overrightarrow{PB}=(0,8,0)-(10,0,10)=(-10,8,-10)\\\overrightarrow{PC}=(0,0,4)-(10,0,10)=(-10,0,-6)

Calculamos el producto mixto:

[\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}]=\begin{vmatrix}-6&0&-10\\-10&8&-10\\-10&0&-6\end{vmatrix}=8\cdot\begin{vmatrix}3&0&5\\-5&4&-5\\5&0&3\end{vmatrix}=\\\\=8\cdot(36-100)=8\cdot(-64)=-512

El volumen V es:

V=\dfrac{|-512|}6=\dfrac{256}3\approx85.3\text{ u.v.}

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