Problema 645

Se da la función real h definida por h(x)=\dfrac{x^3+x^2+5x-3}{x^2+2x+5}. Obtener razonadamente:

a) El dominio de la función h. Los límites \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}h(x)\text{ y }\lim_{x\rightarrow0}h(x).
b) La asíntota de la curva y=h(x).
c) La primitiva de la función h y el área de la superficie encerrada entre las rectas y=0, x=1, x=5 y la curva y=h(x).


Solución:

a) La función h es una función racional. Su dominio lo forma todos los números reales excepto las raíces del denominador.
Calculamos dichas raíces:

x^2+2x+5=0~;\\\\x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot5}}2=\dfrac{-2\pm\sqrt{-16}}2

Observamos que el denominador no tiene raíces reales, luego, el dominio de h es \mathbb R.

  • \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3+x^2+5x-3}{x^2+2x+5}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x=+\infty
    Como consecuencia de este resultado, la función h no tiene asíntota horizontal.
  • \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{x^3+x^2+5x-3}{x^2+2x+5}=\dfrac{-3}5

b) Dado que el dominio de h es \mathbb R, ésta función racional no tiene asíntota vertical.
Asíntota horizontal tampoco tiene como vimos en el apartado a).

Asíntota oblicua (y=mx+n):

\displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^3+x^2+5x-3}{x(x^2+2x+5)}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^3+x^2+5x-3}{x^3+2x^2+5x}=\\\\=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^3}{x^3}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}1=1\\\\\bullet~n=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^3+x^2+5x-3}{x^2+2x+5}-x=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^3+x^2+5x-3-x^3-2x^2-5x}{x^2+2x+5}=\\=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{-x^2-3}{x^2+2x+5}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{-x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}-1=-1

La asíntota oblicua tiene por ecuación y=x-1.


c) Para integrar ésta función racional primero descomponemos la fracción calculando su cociente y su resto en la forma:

\boxed{\dfrac{Dividendo}{Divisor}=Cociente+\dfrac{Resto}{Divisor}}

En nuestro caso:

\dfrac{x^3+x^2+5x-3}{x^2+2x+5}=x-1+\dfrac{2x+2}{x^2+2x+5}

Luego, la primitiva de h es:

\displaystyle H(x)=\int\dfrac{x^3+x^2+5x-3}{x^2+2x+5}~dx=\int x-1~dx+\int\dfrac{2x+2}{x^2+2x+5}~dx

Ambas integrales son inmediatas, la primera de tipo potencial y la segunda de tipo logarítmico:

\displaystyle H(x)=\int x-1~dx+\int\dfrac{2x+2}{x^2+2x+5}~dx=\dfrac{x^2}2-x+\ln|x^2+2x+5|+k

El área S buscada se calcula con la siguiente integral definida:

\displaystyle S=\int_1^5\dfrac{x^3+x^2+5x-3}{x^2+2x+5}~dx

Aplicando la regla de Barrow:

S=\left[\dfrac{x^2}2-x+\ln|x^2+2x+5|\right]_1^5=\left(\dfrac{25}2-5+\ln|40|\right)-\left(\dfrac12-1+\ln|8|\right)=\\\\=12-4+\ln(40)-\ln(8)=8+\ln(5)\approx9.61\text{ u.a.}

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