Problema 646

Se dan las matrices A=\begin{pmatrix}1&4\\-1&6\end{pmatrix} y X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}. Obtener razonadamente:

a) Los valores de α para los que la ecuación matricial AX=\alpha X solo admite una solución.
b) Todas las soluciones de la ecuación matricial AX=5X.
c) Comprobar que X=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix} es una solución de la ecuación matricial AX=2X y, sin calcular la matriz A^{100}, obtener el valor β tal que A^{100}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\beta\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}.


Solución:

a) La ecuación matricial AX=\alpha X es:

\begin{pmatrix}1&4\\-1&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

Escribimos esta ecuación matricial en forma de sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+4y=\alpha x\\-x+6y=\alpha y\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}(1-\alpha)x+4y=0\\-x+(6-\alpha)y=0\end{array}\right.

Sistema cuya matriz de coeficientes es:

M=\begin{pmatrix}1-\alpha&4\\-1&6-\alpha\end{pmatrix}

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema tendrá solución única si el rango de esta matriz es 2, es decir, que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de 0:

\begin{vmatrix}1-\alpha&4\\-1&6-\alpha\end{vmatrix}=(1-\alpha)(6-\alpha)+4=6-\alpha-6\alpha+\alpha^2+4=\alpha^2-7\alpha+10

Igualamos a 0. Las raíces de la ecuación \alpha^2-7\alpha+10=0 son α=2 y α=5.

Por tanto, la ecuación matricial AX=\alpha X tiene solución única para todo α≠2 y α≠5.


b) Nos piden resolver la ecuación matricial para α=5. Sería resolver el sistema

\left\{\begin{array}{l}-4x+4y=0\\-x+y=0\end{array}\right.

Observamos que ambas ecuaciones son proporcionales, por lo que el sistema es equivalente a la ecuación

-x+y=0

La solución de esta ecuación se consigue parametrizando x=λ, de donde se obtiene y=λ.


c) Resolver AX=\alpha X con α=2.
La ecuación matricial en forma de sistema es:

\left\{\begin{array}{l}-x+4y=0\\-x+4y=0\end{array}\right.

Este sistema es equivalente a la ecuación

-x+4y=0

Se comprueba que X=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix} es solución de la ecuación

-4+4\cdot1=0

y, por tanto, es solución de AX=2X.

Por otra parte, nos piden calcular β para que se cumpla A^{100}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\beta\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}.

Para X=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}, hemos comprobado que AX=2X. Entonces

A^2X=AAX=A2X=2AX=2\cdot2X=2^2X~;\\A^3=AA^2X=A2^2X=2^2AX=2^2\cdot2X=2^3X

Deducimos que A^nX=2^nX. Veamos si se comprueba para n+1:

A^{n+1}X=AA^nX=A2^nX=2^nAX=2^n\cdot2X=2^{n+1}X

Por tanto:

A^{100}X=2^{100}X

Por lo que \beta=2^{100}.

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