Problema 646

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones IIEcuaciones matriciales, Inducción matricial, sistemas de ecuaciones, Teorema de Rouché-Fröbeniusdurán

Se dan las matrices $A=\begin{pmatrix}1&4\\-1&6\end{pmatrix}$ y $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ . Obtener razonadamente:

a) Los valores de α para los que la ecuación matricial $AX=\alpha X$ solo admite una solución.
b) Todas las soluciones de la ecuación matricial $AX=5X$ .
c) Comprobar que $X=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ es una solución de la ecuación matricial $AX=2X$ y, sin calcular la matriz $A^{100}$ , obtener el valor β tal que $A^{100}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\beta\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ .

Solución:

a) La ecuación matricial $AX=\alpha X$ es:

$\begin{pmatrix}1&4\\-1&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Escribimos esta ecuación matricial en forma de sistema de ecuaciones:

$\left\{\begin{array}{l}x+4y=\alpha x\\-x+6y=\alpha y\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}(1-\alpha)x+4y=0\\-x+(6-\alpha)y=0\end{array}\right.$

Sistema cuya matriz de coeficientes es:

$M=\begin{pmatrix}1-\alpha&4\\-1&6-\alpha\end{pmatrix}$

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema tendrá solución única si el rango de esta matriz es 2, es decir, que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de 0:

$\begin{vmatrix}1-\alpha&4\\-1&6-\alpha\end{vmatrix}=(1-\alpha)(6-\alpha)+4=6-\alpha-6\alpha+\alpha^2+4=\alpha^2-7\alpha+10$

Igualamos a 0. Las raíces de la ecuación $\alpha^2-7\alpha+10=0$ son α=2 y α=5.

Por tanto, la ecuación matricial $AX=\alpha X$ tiene solución única para todo α≠2 y α≠5.

b) Nos piden resolver la ecuación matricial para α=5. Sería resolver el sistema

$\left\{\begin{array}{l}-4x+4y=0\\-x+y=0\end{array}\right.$

Observamos que ambas ecuaciones son proporcionales, por lo que el sistema es equivalente a la ecuación

$-x+y=0$

La solución de esta ecuación se consigue parametrizando x=λ, de donde se obtiene y=λ.

c) Resolver $AX=\alpha X$ con α=2.
La ecuación matricial en forma de sistema es:

$\left\{\begin{array}{l}-x+4y=0\\-x+4y=0\end{array}\right.$

Este sistema es equivalente a la ecuación

$-x+4y=0$

Se comprueba que $X=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ es solución de la ecuación

$-4+4\cdot1=0$

y, por tanto, es solución de $AX=2X$ .

Por otra parte, nos piden calcular β para que se cumpla $A^{100}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\beta\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ .

Para $X=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ , hemos comprobado que $AX=2X$ . Entonces

$A^2X=AAX=A2X=2AX=2\cdot2X=2^2X~;\\A^3=AA^2X=A2^2X=2^2AX=2^2\cdot2X=2^3X$

Deducimos que $A^nX=2^nX$ . Veamos si se comprueba para n+1:

$A^{n+1}X=AA^nX=A2^nX=2^nAX=2^n\cdot2X=2^{n+1}X$

Por tanto:

$A^{100}X=2^{100}X$

Por lo que $\beta=2^{100}$ .

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