Problema 646

Se dan las matrices $A=\begin{pmatrix}1&4\\-1&6\end{pmatrix}$ y $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ . Obtener razonadamente:

a) Los valores de α para los que la ecuación matricial $AX=\alpha X$ solo admite una solución.
b) Todas las soluciones de la ecuación matricial $AX=5X$ .
c) Comprobar que $X=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ es una solución de la ecuación matricial $AX=2X$ y, sin calcular la matriz $A^{100}$ , obtener el valor β tal que $A^{100}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\beta\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ .

Solución:

a) La ecuación matricial $AX=\alpha X$ es:

$\begin{pmatrix}1&4\\-1&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Escribimos esta ecuación matricial en forma de sistema de ecuaciones:

$\left\{\begin{array}{l}x+4y=\alpha x\\-x+6y=\alpha y\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}(1-\alpha)x+4y=0\\-x+(6-\alpha)y=0\end{array}\right.$

Sistema cuya matriz de coeficientes es:

$M=\begin{pmatrix}1-\alpha&4\\-1&6-\alpha\end{pmatrix}$

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema tendrá solución única si el rango de esta matriz es 2, es decir, que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de 0:

$\begin{vmatrix}1-\alpha&4\\-1&6-\alpha\end{vmatrix}=(1-\alpha)(6-\alpha)+4=6-\alpha-6\alpha+\alpha^2+4=\alpha^2-7\alpha+10$