Se dan las matrices y
. Obtener razonadamente:
a) Los valores de α para los que la ecuación matricial solo admite una solución.
b) Todas las soluciones de la ecuación matricial .
c) Comprobar que es una solución de la ecuación matricial
y, sin calcular la matriz
, obtener el valor β tal que
.
Solución:
a) La ecuación matricial es:
Escribimos esta ecuación matricial en forma de sistema de ecuaciones:
Sistema cuya matriz de coeficientes es:
Según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema tendrá solución única si el rango de esta matriz es 2, es decir, que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de 0:
Igualamos a 0. Las raíces de la ecuación son α=2 y α=5.
Por tanto, la ecuación matricial tiene solución única para todo α≠2 y α≠5.
b) Nos piden resolver la ecuación matricial para α=5. Sería resolver el sistema
Observamos que ambas ecuaciones son proporcionales, por lo que el sistema es equivalente a la ecuación
La solución de esta ecuación se consigue parametrizando x=λ, de donde se obtiene y=λ.
c) Resolver con α=2.
La ecuación matricial en forma de sistema es:
Este sistema es equivalente a la ecuación
Se comprueba que es solución de la ecuación
y, por tanto, es solución de .
Por otra parte, nos piden calcular β para que se cumpla .
Para , hemos comprobado que
. Entonces
Deducimos que . Veamos si se comprueba para n+1:
Por tanto:
Por lo que .
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