Se dan en el espacio la recta y el plano
. Obtener razonadamente:
a) La posición relativa de la recta r y el plano π en función de los parámetros reales α y β.
b) La distancia entre la recta r y el plano π cuando α=6 y β=3.
c) La ecuación del plano que pasa por (0,0,0) y que no corta al plano π.
Solución:
a) Escribimos la recta r en paramétricas:
Calculamos la intersección entre recta y plano sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano:
Simplificamos la ecuación:
- Si
, entonces la ecuación
tiene una única solución, por lo que recta y plano se cortan en un punto.
- Si
, entonces
1º Si, entonces la ecuación resulta
, ecuación sin solución por lo que recta y plano son paralelos.
2º Si, entonces la ecuación resulta
, ecuación cuya solución es cualquier valor real de λ, por lo que la recta está contenida en el plano.
En resumen:
1º Si , entonces la recta y el plano se cortan en un punto.
2º Si , entonces la recta y el planos son paralelos.
3º Si , entonces la recta está contenida en el plano.
b) La distancia entre recta y plano se define cuando ambos son paralelos, En el caso , la recta está contenida en el plano por lo que la distancia entre ambos es 0 u.l.
c) Para que dos planos no se corten entre sí, ambos deben ser paralelos. Si el plano π tiene la forma , un plano σ paralelo a él será:
Imponemos que este plano pase por el punto (0,0,0) y calculamos D:
Luego, el plano buscado es:
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