Se dan en el espacio la recta y el plano . Obtener razonadamente:

a) La posición relativa de la recta r y el plano π en función de los parámetros reales α y β.
b) La distancia entre la recta r y el plano π cuando α=6 y β=3.
c) La ecuación del plano que pasa por (0,0,0) y que no corta al plano π.

Solución:

a) Escribimos la recta r en paramétricas:

Calculamos la intersección entre recta y plano sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

Simplificamos la ecuación:

• Si , entonces la ecuación tiene una única solución, por lo que recta y plano se cortan en un punto.
• Si , entonces
  1º Si , entonces la ecuación resulta , ecuación sin solución por lo que recta y plano son paralelos.
  2º Si , entonces la ecuación resulta , ecuación cuya solución es cualquier valor real de λ, por lo que la recta está contenida en el plano.

En resumen:

1º Si , entonces la recta y el plano se cortan en un punto.
2º Si , entonces la recta y el planos son paralelos.
3º Si , entonces la recta está contenida en el plano.

b) La distancia entre recta y plano se define cuando ambos son paralelos, En el caso , la recta está contenida en el plano por lo que la distancia entre ambos es 0 u.l.

c) Para que dos planos no se corten entre sí, ambos deben ser paralelos. Si el plano π tiene la forma , un plano σ paralelo a él será:

Imponemos que este plano pase por el punto (0,0,0) y calculamos D:

Luego, el plano buscado es:

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