Problema 647

Se dan en el espacio la recta r:~\dfrac{x-\alpha}{-1}=\dfrac y{-4}=\dfrac z\beta y el plano \pi:~x+2y+3z=6. Obtener razonadamente:

a) La posición relativa de la recta r y el plano π en función de los parámetros reales α y β.
b) La distancia entre la recta r y el plano π cuando α=6 y β=3.
c) La ecuación del plano que pasa por (0,0,0) y que no corta al plano π.


Solución:

a) Escribimos la recta r en paramétricas:

\left\{\begin{array}{l}x=\alpha-\lambda\\y=-4\lambda\\z=\beta\lambda\end{array}\right.

Calculamos la intersección entre recta y plano sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

(\alpha-\lambda)+2(-4\lambda)+3(\beta\lambda)=6

Simplificamos la ecuación:

\alpha-\lambda-8\lambda+3\beta\lambda=6~;\\\\(3\beta-9)\lambda=6-\alpha

  • Si 3\beta-9\neq0\rightarrow\beta\neq3, entonces la ecuación (3\beta-9)\lambda=6-\alpha tiene una única solución, por lo que recta y plano se cortan en un punto.
  • Si \beta=3, entonces
    1º Si 6-\alpha\neq0\rightarrow\alpha\neq6, entonces la ecuación resulta 0\lambda\neq0, ecuación sin solución por lo que recta y plano son paralelos.
    2º Si \alpha=6, entonces la ecuación resulta 0\lambda=0, ecuación cuya solución es cualquier valor real de λ, por lo que la recta está contenida en el plano.

En resumen:

1º Si \beta\neq3, entonces la recta y el plano se cortan en un punto.
2º Si \beta=3,~\alpha\neq6, entonces la recta y el planos son paralelos.
3º Si \beta=3,~\alpha=6, entonces la recta está contenida en el plano.


b) La distancia entre recta y plano se define cuando ambos son paralelos, En el caso \beta=3,~\alpha=6, la recta está contenida en el plano por lo que la distancia entre ambos es 0 u.l.


c) Para que dos planos no se corten entre sí, ambos deben ser paralelos. Si el plano π tiene la forma x+2y+3z=6, un plano σ paralelo a él será:

\sigma:~x+2y+3z=D

Imponemos que este plano pase por el punto (0,0,0) y calculamos D:

0+2\cdot0+3\cdot0=D\rightarrow D=0

Luego, el plano buscado es:

x+2y+3z=0

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s