Problema 647

Se dan en el espacio la recta $r:~\dfrac{x-\alpha}{-1}=\dfrac y{-4}=\dfrac z\beta$ y el plano $\pi:~x+2y+3z=6$ . Obtener razonadamente:

a) La posición relativa de la recta r y el plano π en función de los parámetros reales α y β.
b) La distancia entre la recta r y el plano π cuando α=6 y β=3.
c) La ecuación del plano que pasa por (0,0,0) y que no corta al plano π.

Solución:

a) Escribimos la recta r en paramétricas:

$\left\{\begin{array}{l}x=\alpha-\lambda\\y=-4\lambda\\z=\beta\lambda\end{array}\right.$

Calculamos la intersección entre recta y plano sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

$(\alpha-\lambda)+2(-4\lambda)+3(\beta\lambda)=6$

Simplificamos la ecuación:

$\alpha-\lambda-8\lambda+3\beta\lambda=6~;\\\\(3\beta-9)\lambda=6-\alpha$

Si $3\beta-9\neq0\rightarrow\beta\neq3$ , entonces la ecuación $(3\beta-9)\lambda=6-\alpha$ tiene una única solución, por lo que recta y plano se cortan en un punto.
Si $\beta=3$ , entonces
1º Si $6-\alpha\neq0\rightarrow\alpha\neq6$ , entonces la ecuación resulta $0\lambda\neq0$ , ecuación sin solución por lo que recta y plano son paralelos.
2º Si $\alpha=6$ , entonces la ecuación resulta $0\lambda=0$ , ecuación cuya solución es cualquier valor real de λ, por lo que la recta está contenida en el plano.

En resumen:

1º Si $\beta\neq3$ , entonces la recta y el plano se cortan en un punto.
2º Si $\beta=3,~\alpha\neq6$ , entonces la recta y el planos son paralelos.
3º Si $\beta=3,~\alpha=6$ , entonces la recta está contenida en el plano.

b) La distancia entre recta y plano se define cuando ambos son paralelos, En el caso $\beta=3,~\alpha=6$ , la recta está contenida en el plano por lo que la distancia entre ambos es 0 u.l.

c) Para que dos planos no se corten entre sí, ambos deben ser paralelos. Si el plano π tiene la forma $x+2y+3z=6$ , un plano σ paralelo a él será: