Problema 648

Un proyectil está unido al punto (0,2) por una cuerda elástica y tensa. El proyectil recorre la curva y=4-x^2 de extremos (-2,0) y (2,0). Obtener razonadamente:

a) La función de la variable x que expresa la distancia entre un punto cualquiera (x,4-x^2) de la curva y=4-x^2 y el punto (0,2).
b) Los puntos de la curva y=4-x^2 a mayor distancia absoluta del punto (0,2) para -2\leq x\leq2.
c) Los puntos de la curva y=4-x^2 a menor distancia absoluta del punto (0,2) para -2\leq x\leq2.
d) El área de la superficie por la que se ha movido la cuerda elástica, es decir, el área comprendida entre las curvas y=4-x^2 e y=2-|x| cuando-2\leq x\leq2.


Solución:

a) La función y=4-x^2 es una función elemental cuya gráfica es una parábola cóncava que pasa por los puntos (-2,0), (0,4) y (2,0).

p648Recordamos que la distancia entre dos puntos A(x_a,y_a)\text{ y }B(x_b,y_b) es

\boxed{d(A,B)=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}}

Nos piden la distancia del punto A(0,2) al punto B(x,4-x^2) que está sobre la curva y=4-x^2:

d(A,B)=d(x)=\sqrt{(x-0)^2+(4-x^2-2)^2}

Simplificamos esta función distancia:

d(x)=\sqrt{x^2+(2-x^2)^2}=\sqrt{x^2+4+x^4-4x^2}\\\\d(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}


b) Los candidatos a máximos y mínimos de una función son sus puntos críticos. Calculamos los puntos críticos de la función d:

d'(x)=\dfrac{4x^3-6x}{2\sqrt{x^4-3x^2+4}}=\dfrac{2x^3-3x}{\sqrt{x^4-3x^2+4}}=0~;\\\\2x^3-3x=0~;\\\\x(2x^2-3)=0

Ecuación esta última cuyas soluciones son x=0,~x=\pm\sqrt{\frac32}.
Con los puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio de esta función, construimos la siguiente tabla de monotonía para caracterizar los puntos críticos:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-2,-\sqrt{\frac32})&(-\sqrt{\frac32},0)&(0,\sqrt{\frac32})&(\sqrt{\frac32},2)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Por la monotonía, observamos que hay un máximo en x=0, pero también pueden ser máximos los extremos del dominio, es decir, x=-2 y x=2. Evaluamos la distancia en estos valores para determinar cuál es la distancia máxima:

d(0)=\sqrt{0^4-3\cdot0^2+4}=2\\d(-2)\approx2.83=d(2)

Luego, el valor máximo de la distancia se obtiene en x=-2 y x=2, y su valor es de 2.83 u.l.
Los puntos son (-2,0) y (2,0).


c) A la vista de la monotonía estudiada en el apartado b), se obtiene mínimos para la distancia en x=\pm\sqrt{\frac32}. Estos valores de la distancia son iguales dado que la función d es par, es decir, d(-x)=d(x).
El valor de esta distancia es

d(\sqrt{\frac32})\approx1.32

aunque no es necesario calcular este resultado puesto que no se pide.
Los puntos donde se alcanzan el mínimo son (\sqrt{\frac32},\frac52)\text{ y }(-\sqrt{\frac32},\frac52).


d) La función y=2-|x| la podemos escribir como función a trozos de la siguiente forma:

\left\{\begin{array}{ccc}2-x&\text{si}&0\leq x\leq2\\2+x&\text{si}&-2\leq x<0\end{array}\right.

Es una función también par. Junto con la parábola, la gráfica resultante es:

p648b

El área S comprendido entre la parábola y la función y=2-|x| es el doble de la región sombreada:

\displaystyle S=2\int_0^2(4-x^2)-(2-x)~dx=2\int_0^2-x^2+x+2~dx=\\\\=2\left[\dfrac{-x^3}3+\dfrac{x^2}2+2x\right]_0^2=2\left(\dfrac{-2^3}3+\dfrac{2^2}2+2\cdot2\right)-2\cdot(0)=\\\\=\dfrac{-16}3+4+8=\dfrac{20}3\text{ u.a.}

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