Problema 649

Sean las matrices

A=\begin{pmatrix}a&4&2\\1&a&0\\1&2&1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}9\\1\\3\end{pmatrix}

a) Calcúlense los valores de a para los cuales la matriz A no tiene matriz inversa.
b) Para a=3, calcúlense la matriz inversa de A y resuélvase la ecuación matricial AX=B.


Solución:

a) Una matriz cuadrada no tiene inversa si su determinante es igual a 0.
Calculamos el determinante de la matriz A:

\begin{vmatrix}a&4&2\\1&a&0\\1&2&1\end{vmatrix}=a^2+4-2a-4=a^2-2a=a(a-2)

Igualamos a 0 este determinante:

a(a-2)=0

ecuación cuyas soluciones son a=0, a=2.
Por tanto, la matriz A no tiene inversa si a=0 o a=2.


b) Si a=3, entonces A=\begin{pmatrix}3&4&2\\1&3&0\\1&2&1\end{pmatrix} cuyo determinante es |A|=3\cdot(3-2)=3.
La inversa de la matriz A es:

A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\0&1&-2\\-6&2&5\end{pmatrix}

Luego

A^{-1}=\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}3&0&-6\\-1&1&2\\-1&-2&5\end{pmatrix}

Este resultado nos sirve para resolver la ecuación matricial AX=B:

AX=B~;\\\\X=A^{-1}B~;\\\\X=\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}3&0&-6\\-1&1&2\\-1&-2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9\\1\\3\end{pmatrix}=\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}9\\-2\\4\end{pmatrix}

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