Problema 650

Se considera la función real de variable real f(x)=2x^3-8x.

a) Determínese en qué puntos la tangente a la curva y=f(x) es horizontal.
b) Calcúlese el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x=0, x=2.


Solución:

a) La recta tangente a una función f es horizontal donde f'(x)=0.

f'(x)=6x^2-8=0~;\\\\2(3x^2-4)=0~;\\\\3x^2-4=0~;\\\\x=\pm\sqrt{\dfrac43}

Los puntos donde f tiene tangente horizontal son:

x=\sqrt{\dfrac43}\longrightarrow y=2\sqrt{\dfrac43}^3-8\sqrt{\dfrac43}=\dfrac83\sqrt{\dfrac43}-8\sqrt{\dfrac43}=\dfrac{-16}3\sqrt{\dfrac43}\\\\x=-\sqrt{\dfrac43}\longrightarrow y=2\left(-\sqrt{\dfrac43}\right)^3+8\sqrt{\dfrac43}=-\dfrac83\sqrt{\dfrac43}+8\sqrt{\dfrac43}=\dfrac{16}3\sqrt{\dfrac43}

es decir

(\sqrt{\frac43},-\frac{16}3\sqrt{\frac43})\approx(1.15,-6.16)\\(-\sqrt{\frac43},\frac{16}3\sqrt{\frac43})\approx(-1.15,6.16)


b) Veamos en primer lugar si esta función polinómica f cambia de signo en el intervalo (0,2):

2x^3-8x=0~;\\\\2x(x^2-4)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0,~x=\pm2. Luego, en el intervalo (0,2), la función f no cambia de signo y, por tanto, el área S pedida es:

\displaystyle S=\left|\int_0^22x^3-8x~dx\right|=\left|\left[\dfrac{x^4}2-4x^2\right]_0^2\right|=|(8-16)-(0)|=8\text{ u.a.}

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