Problema 651

Se considera la función real de variable real

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{x^3}{x^2-9}&\text{si}&x<3\\\\x^2-4&\text{si}&x\geq3\end{array}\right.$

a) Estúdiese la continuidad de f.
b) Determínese si f tiene asíntotas horizontales, verticales u oblicuas.

Solución:

a) La función $y=\dfrac{x^3}{x^2-9}$ está definida en todos los número reales excepto en aquellos valores que anulan el denominador, es decir, x=-3 y x=3. El dominio de f son todos los números reales excepto x=-3.
Estudiamos la continuidad en ambos puntos:

Continuidad en x=-3:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-3^-}\dfrac{x^3}{x^2-9}=\dfrac{-27}{0^+}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-3^+}\dfrac{x^3}{x^2-9}=\dfrac{-27}{0^-}=+\infty\\\bullet~\nexists f(-3)$
En x=-3, la función f presenta una discontinuidad de salto infinito.
Continuidad en x=3:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow3^-}\dfrac{x^3}{x^2-9}=\dfrac{27}{0^-}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow3^+}x^2-4=5\\\bullet~f(3)=3^2-4=5$
En x=3, la función f presenta también una discontinuidad de salto infinito.

En el resto de puntos del dominio, la función f es continua por tratarse de la unión de funciones elementales racional y polinómica.

b) Como demostramos en el apartado a), la función f presenta asíntotas verticales con ecuaciones x=-3 y x=3.

Asíntota horizontal:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2-4=+\infty!!!\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^3}{x^2-9}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^3}{x^2}=\lim_{x\rightarrow-\infty}x=-\infty!!!$
Por lo que no existe asíntota horizontal.
Asíntota oblicua $(y=mx+n)$ :
$\displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-4}x=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}x=\lim{x\rightarrow+\infty}x=+\infty!!!\\\bullet~m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^3}{x(x^2-9)}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2}{x^2-9}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow-\infty}1=1\\\bullet~n=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^3}{x^2-9}-x=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^3-x^3+9x}{x^2-9}=\\\\=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{9x}{x^2-9}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{9x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac9x=\dfrac9{-\infty}=0$
No existe asíntota oblicua cuando x tiende a +∞, pero sí cuando x tiende a -∞ y su ecuación es y=x.