Problema 652

Los escolares de un cierto colegio de Madrid fueron encuestados acerca de su alimentación y de su ejercicio físico. Una proporción de 2/5 hacían ejercicio regularmente y 2/3 siempre desayunaban. Además, entre los que siempre desayunan, una proporción de 9/25 hacían ejercicio regularmente. Se elige al azar un escolar de ese colegio:

a) ¿Es independiente que siempre desayune y que haga ejercicio regularmente?
b) Calcúlese la probabilidad de que no siempre desayune y no haga ejercicio regularmente.


Solución:

a) Sea D el suceso “escolares que desayunan” y E el suceso “escolares que hacen ejercicio”.
Nos dicen que una proporción de 2/5 hacen ejercicio: P[E]=\frac25.
La proporción de escolares que toman desayuno es 2/3: P[D]=\frac 23.
De los que desayunan, 9/25 es la proporción de los además hacen ejercicio: P[E/D]=\frac9{25}.

Los sucesos “desayunar” y “hacer ejercicio” son independientes si:

P[D\cap E]=P[D]\cdot P[E]\qquad(1)

Sabemos que

P[E/D]=\dfrac{P[E\cap D]}{P[D]}~;\\\\P[E\cap D]=P[E/D]\cdot P[D]\qquad(2)

Sustituyendo en (1):

P[E/D]\cdot P[D]=P[D]\cdot P[E]~;\\\\P[E/D]=P[E]~;\\\\\dfrac9{25}=\dfrac25

lo cuál es falso. Por tanto, D y E no son sucesos independientes.


b) Nos piden la probabilidad del suceso \overline D\cap\overline E.

Aplicando una de las leyes de Morgan, \overline D\cap\overline E=\overline{D\cup E}, entonces:

P[\overline D\cap\overline E]=P[\overline{D\cup E}]=1-P[D\cup E]

Por otra parte:

P[D\cup E]=P[D]+P[E]-P[D\cap E]

Sustituimos la expresión (2):

P[D\cup E]=P[D]+P[E]-P[E/D]\cdot P[D]=\dfrac23+\dfrac25-\dfrac9{25}\cdot\dfrac23=\dfrac{62}{75}

Luego:

P[\overline D\cap\overline E]=1-P[D\cup E]=1-\dfrac{62}{75}=\dfrac{13}{75}

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