Problema 653

Una máquina rellena paquetes de harina. El peso de la harina en cada paquete se puede aproximar por una distribución normal de media μ y desviación típica 25 gramos.

a) Se analiza el peso del contenido de 15 paquetes. La media muestral de estos pesos resulta ser 560 gramos. Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 95% para la media poblacional.
b) Se sabe que la media poblacional del peso de la harina de un paquete de 560 gramos. Calcúlese la probabilidad de que la media muestral no sea menor que 565 gramos para una muestra de 50 paquetes.


Solución:

a) El intervalo de confianza para estimar la media se escribe en la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

donde \overline x=560, y el error

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

se calcula sabiendo que n=15, σ=25, y que para un nivel de confianza del 95% tenemos z_{\alpha/2}=1.96. Luego

E=1.96\cdot\dfrac{25}{\sqrt{15}}=12.7

El intervalo de confianza es:

(560-12.7,560+12.7)=(547.3,572.7)


b) Nos dan la media poblacional μ=560, n=50 y σ=25, y nos piden calcular la probabilidad P[\overline x\geq565].

Primero tipificamos este valor de la media muestral con la fórmula:

\boxed{z=\dfrac{\overline x-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}

z=\dfrac{565-560}{\frac{25}{\sqrt{50}}}=1.414

Luego,

P[\overline x\geq565]=P[z\geq1.414]=1-P[z\leq1.414]

Interpolamos la probabilidad P[z\leq1.414]=p en esta tabla.

\dfrac{1.42-1.41}{0.9222-0.9207}=\dfrac{1.414-1.41}{p-0.9207}~;\\\\6.67\cdot(p-0.9207)=0.004~;\\\\p=0.9213

Por lo que

P[\overline x\geq565]=1-p=0.0787

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