Problema 654

Un alcalde quiere instalar un estanque rectangular en un parque de la ciudad con las siguientes características. El estanque deberá tener al menos 2 metros de ancho y al menos 5 metros de largo. Además su largo debe ser al menos 2 veces su ancho pero no más de tres veces su ancho. Cada metro del ancho del estanque cuesta 1000 euros y cada metros de largo 500 metros. Y se cuenta con un presupuesto de 9000 euros.

a) Determínese la región del plano delimitada por las restricciones anteriores sobre las dimensiones del estanque.
b) Si se desea que el estanque respetando esas características tenga el mayor ancho posible, determínese el largo del estanque y su coste.


Solución:

p654ba) Este es un problema de programación lineal. Las incógnitas son las dimensiones del estanque: x es la anchura del estanque e y es el largo del estanque.

  • El estanque debe tener al menos 2 metros de ancho: x\geq2
  • El estanque debe tener al menos 5 metros de largo: y\geq5
  • Su largo debe ser al menos 2 veces su ancho: y\geq2x
  • …pero no mas de 3 veces su ancho: y\leq3x
  • Tiene un presupuesto de máximo 9000€:
    1000x+500y\leq9000

A partir de las restricciones anteriores, escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

\left\{\begin{array}{lcl}x\geq2&\rightarrow&x=2\\y\geq5&\rightarrow&y=5\\y\geq2x&\rightarrow&y=2x\\y\leq3x&\rightarrow&y=3x\\1000x+500y\leq9000&\rightarrow&y=18-2x\end{array}\right.

p654.png

La zona sombreada es la región factible que verifica todas las restricciones.


b) Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas formados por las ecuaciones de las rectas que dan lugar a esos vértices:

\begin{array}{ll}A=\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=3x\end{array}\right.&\rightarrow A=(2,6)\\B=\left\{\begin{array}{l}y=18-2x\\y=3x\end{array}\right.&\rightarrow B=(3.6,10.8)\\C=\left\{\begin{array}{l}y=18-2x\\y=2x\end{array}\right.&\rightarrow C=(4.5,9)\\D=\left\{\begin{array}{l}y=5\\y=2x\end{array}\right.&\rightarrow D=(2.5,5)\\E=\left\{\begin{array}{l}y=5\\x=2\end{array}\right.&\rightarrow E=(2,5)\end{array}

De todos los vértices, el que da lugar al mayor ancho x es el vértice C, cuyo valor es de 4.5 metros. El largo es de 9 metros, y el coste del estanque es:

1000\cdot4.5+500\cdot9=9000

Más problemas de programación lineal.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s