Problema 655

📖Álgebra CCSS, Matrices y determinantes CCSS, Selectividad Mat CCSSmatrices y determinantes, Matriz inversadurán

Se considera la matriz

$A=\begin{pmatrix}3&8&10\\2&1&2\\4&3&6\end{pmatrix}$

y la matriz B es tal que

$(AB)^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}0&3&-1\\0&-1&1\\2&-3&-3\end{pmatrix}$

a) Calcúlese A⁻¹.
b) Calcúlese B⁻¹.

Solución:

a) Para calcular la matriz inversa de A utilizamos la fórmula:

$\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}$

$|A|=\begin{vmatrix}3&8&10\\2&1&2\\4&3&6\end{vmatrix}=-12$

$\text{Adj}A=\begin{pmatrix}0&-4&2\\-18&-22&23\\6&14&-13\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac1{-12}\cdot\begin{pmatrix}0&-18&6\\-4&-22&14\\2&23&-13\end{pmatrix}$

b) Sabiendo que $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ , entonces:

$B^{-1}A^{-1}=(AB)^{-1}~;\\\\B^{-1}=(AB)^{-1}A~;\\\\B^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}0&3&-1\\0&-1&1\\2&-3&-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&8&10\\2&1&2\\4&3&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&2\\-6&2&-2\end{pmatrix}$

♦

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