Problema 655

Se considera la matriz

A=\begin{pmatrix}3&8&10\\2&1&2\\4&3&6\end{pmatrix}

y la matriz B es tal que

(AB)^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}0&3&-1\\0&-1&1\\2&-3&-3\end{pmatrix}

a) Calcúlese A⁻¹.
b) Calcúlese B⁻¹.


Solución:

a) Para calcular la matriz inversa de A utilizamos la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}3&8&10\\2&1&2\\4&3&6\end{vmatrix}=-12

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}0&-4&2\\-18&-22&23\\6&14&-13\end{pmatrix}

A^{-1}=\dfrac1{-12}\cdot\begin{pmatrix}0&-18&6\\-4&-22&14\\2&23&-13\end{pmatrix}


b) Sabiendo que (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, entonces:

B^{-1}A^{-1}=(AB)^{-1}~;\\\\B^{-1}=(AB)^{-1}A~;\\\\B^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}0&3&-1\\0&-1&1\\2&-3&-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&8&10\\2&1&2\\4&3&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&2\\-6&2&-2\end{pmatrix}

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