Problema 656

Se considera la función real de variable real definida por $f(x)=x^3+x^2-5x+3$ .

a) Determínese los puntos de corte con los ejes de coordenadas así como los límites de la función cuando x tiende a infinito y a menos infinito.
b) Determínense los valores de x en los que la pendiente de la recta tangente a la función es igual a 3.

Solución:

a) Puntos de corte con el eje x (y=0):

$0=x^3+x^2-5x+3$

Factorizamos el polinomio utilizando la regla de Ruffini:

$\begin{array}{c|cccc}&1&1&-5&3\\1&&1&2&-3\\\hline&1&2&-3&\boxed0\\1&&1&3&\\\hline&1&3&\boxed0&\end{array}$

$0=(x-1)(x-1)(x+3)$

ecuación cuyas soluciones son x=1, x=-3. Luego, los puntos de corte con el eje x son (1,0) y (-3,0).

Puntos de corte con el eje y (x=0):

$f(0)=3$

Luego, el punto de corte con el eje y es (0,3).

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3+x^2-5x+3=\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3=+\infty\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3+x^2-5x+3=\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty$

b) La pendiente m de la recta tangente a una función f en un punto $x=x_0$ es $m=f'(x_0)$ , luego, la pendiente m de la recta tangente a $f(x)=x^3+x^2-5x+3$ en $x_0=3$ es: