Problema 656

Se considera la función real de variable real definida por f(x)=x^3+x^2-5x+3.

a) Determínese los puntos de corte con los ejes de coordenadas así como los límites de la función cuando x tiende a infinito y a menos infinito.
b) Determínense los valores de x en los que la pendiente de la recta tangente a la función es igual a 3.


Solución:

a) Puntos de corte con el eje x (y=0):

0=x^3+x^2-5x+3

Factorizamos el polinomio utilizando la regla de Ruffini:

\begin{array}{c|cccc}&1&1&-5&3\\1&&1&2&-3\\\hline&1&2&-3&\boxed0\\1&&1&3&\\\hline&1&3&\boxed0&\end{array}

0=(x-1)(x-1)(x+3)

ecuación cuyas soluciones son x=1, x=-3. Luego, los puntos de corte con el eje x son (1,0) y (-3,0).

Puntos de corte con el eje y (x=0):

f(0)=3

Luego, el punto de corte con el eje y es (0,3).

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3+x^2-5x+3=\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3=+\infty\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3+x^2-5x+3=\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty


b) La pendiente m de la recta tangente a una función f en un punto x=x_0 es m=f'(x_0), luego, la pendiente m de la recta tangente a f(x)=x^3+x^2-5x+3 en x_0=3 es:

f'(x)=3x^2+2x-5\\\\m=f'(3)=3\cdot3^2+2\cdot3-5=27+6-5=28

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