Problema 657

Sean A y B dos sucesos con P[A]=0.3,~P[B/A]=0.4,~P[B/\overline A]=0.6. Calcúlese:

a) P[A/B].
b) P[\overline A/\overline B].

Nota: \overline S denota al suceso complementario del suceso S.


Solución:

a) Utilizando el teorema de Bayes:

P[A/B]=\dfrac{P[A]\cdot P[B/A]}{P[B]}\qquad(1)

Necesitamos el valor de P[B]. Utilizamos el resultado de P[B/\overline A]:

P[B/\overline A]=\dfrac{P[B\cap\overline A]}{P[\overline A]}\\\\P[B\cap\overline A]=P[\overline A]\cdot P[B/\overline A]\qquad(2)

Sabemos que

P[B\cap\overline A]=P[B]-P[A\cap B]=P[B]-P[A]\cdot P[B/A]

luego:

P[B]=P[B\cap\overline A]+P[A]\cdot P[B/A]

Utilizando (2):

P[B]=P[\overline A]\cdot P[B/\overline A]+P[A]\cdot P[B/A]=\\\\=(1-P[A])\cdot P[B/\overline A]+P[A]\cdot P[B/A]=\\\\=(1-0.3)\cdot0.6+0.3\cdot0.4=0.54

Sustituyendo en (1):

P[A/B]=\dfrac{P[A]\cdot P[B/A]}{P[B]}=\dfrac{0.3\cdot0.4}{0.54}=\dfrac29=0.222


b) Utilizamos el teorema de Bayes:

P[\overline A/\overline B]=\dfrac{P[\overline A\cap\overline B]}{P[\overline B]}\qquad(1)

Utilizando una de las leyes de Morgan:

P[\overline A\cap\overline B]=P[\overline{A\cup B}]=1-P[A\cup B]\qquad(2)

pero

P[A\cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B]=\\\\=P[A]+P[B]-P[A]\cdot P[B/A]=\\\\=0.3+0.54-0.3\cdot0.4=0.72

Sustituyendo en (2):

P[\overline A\cap\overline B]=1-0.72=0.28

y sustituyendo en (1):

P[\overline A/\overline B]=\dfrac{P[\overline A\cap\overline B]}{1-P[B]}=\dfrac{0.28}{1-0.54}=0.609

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