Problema 659

Un taller fabrica dos productos A y B. La producción de una unidad de producto A requiere 30 minutos para montar las piezas que lo forman y 40 minutos para pintarlo y la producción de una unidad del producto B exige 40 minutos para montar las piezas y 30 minutos para pintarlo.
Cada día se puede destinar como máximo 10 horas para montar piezas y 11 horas, también como máximo, para pintar los productos producidos.
Cada unidad del producto A se vende a 40 euros y cada unidad del producto B se vende a 35 euros.

¿Cuántas unidades se han de producir cada día de cada producto para obtener el máximo ingreso? ¿Cuál es dicho ingreso máximo?


Solución:

Se trata de un problema de programación lineal. Sea x el número de productos A producidos e y el número de productos B producidos.
La siguiente tabla muestra los minutos necesarios en montaje y pintura necesarios para producir una unidad de producto A y B.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&A&B\\\hline\text{Montaje}&30&40\\\hline\text{Pintura}&40&30\\\hline\end{array}

  • Hay un máximo de 10 horas (600 minutos) para montaje: 30x+40y\leq600.
  • Hay un máximo de 11 horas (660 minutos) para pintura: 40x+30y\leq660.

A estas dos restricciones, añadimos las restricciones naturales x\geq0,~y\geq0.
A partir de las restricciones escribimos las ecuaciones de las rectas y la representamos:

\left\{\begin{array}{lcl}30x+40y=600&\rightarrow&y=\dfrac{60-3x}4\\40x+30y=660&\rightarrow&y=\dfrac{66-4x}3\\x=0&&\\y=0&&\end{array}\right.

p659.png

La zona sombreada es la región factible que es el lugar de los puntos que verifican todas las restricciones.
Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones:

A:~\left\{\begin{array}{l}30x+40y=600\\x=0\end{array}\right.\rightarrow A=(0,15)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}30x+40y=600\\40x+30y=660\end{array}\right.\rightarrow B=(12,6)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}y=0\\40x+30y=660\end{array}\right.\rightarrow C=(16.5,0)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}y=0\\x=0\end{array}\right.\rightarrow D=(0,0)

La función ingreso es I(x,y)=40x+35y, que obtendrá su valor máximo en uno de los vértices de la región factible. Evaluamos la función ingreso en cada vértice:

A\rightarrow I(0,15)=40\cdot0+35\cdot15=525\\B\rightarrow I(12,6)=690\\C\rightarrow I(16.5,0)=660\\D\rightarrow I(0,0)=0

Por tanto, el ingreso tiene un valor máximo de 690 euros produciendo 12 productos de A y 6 productos de B.

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