Problema 660

Dada la función $f(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}$ , se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.

Solución:

a) Se trata de una función racional. Su dominio son todos los números reales excepto los que anulan el denominador. Calculamos las raíces del denominador:

$x^2+x-2=0$

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=-2, por tanto el dominio de f es:

$\text{Dom}f=\mathbb R\setminus\{1,-2\}$

Punto de corte con el eje x (y=0):
$0=\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}\\\\x^2-2x-3=0$
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=3, x=-1. Los puntos de corte con el eje x son (3,0) y (-1,0).
Punto de corte con el eje y (x=0):
$y=\dfrac{0^2-2\cdot0-3}{0^2+0-2}=\dfrac32$
Luego, el punto de corte con el eje y es $(0,\frac32)$ .

b) Cálculo de asíntotas:

Asíntota vertical en x=1:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac{-4}{0^+}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac{-4}{0^-}=+\infty$
Luego, existe una asíntota vertical de ecuación x=1.
Asíntota vertical en x=-2:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac{5}{0^-}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^-}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac{5}{0^+}=+\infty$
También existe una asíntota vertical de ecuación x=-2.
Asíntota horizontal:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}1=1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow-\infty}1=1$
Existe una asíntota horizontal de ecuación y=1.

c) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

$f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x^2+x-2)-(x^2-2x-3)(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}=\dfrac{3x^2+2x+7}{(x^2+x-2)^2}=0~;\\\\3x^2+2x+7=0$

Ecuación de segundo grado que no tiene solución real, luego, f no tiene puntos críticos.
Para estudiar la monotonía solo tenemos en cuenta el dominio de f:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$