Dada la función , se pide:
a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.
Solución:
a) Se trata de una función racional. Su dominio son todos los números reales excepto los que anulan el denominador. Calculamos las raíces del denominador:
ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=-2, por tanto el dominio de f es:
- Punto de corte con el eje x (y=0):
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=3, x=-1. Los puntos de corte con el eje x son (3,0) y (-1,0). - Punto de corte con el eje y (x=0):
Luego, el punto de corte con el eje y es.
b) Cálculo de asíntotas:
- Asíntota vertical en x=1:
Luego, existe una asíntota vertical de ecuación x=1. - Asíntota vertical en x=-2:
También existe una asíntota vertical de ecuación x=-2. - Asíntota horizontal:
Existe una asíntota horizontal de ecuación y=1.
c) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:
Ecuación de segundo grado que no tiene solución real, luego, f no tiene puntos críticos.
Para estudiar la monotonía solo tenemos en cuenta el dominio de f:
- f crece en el intervalo
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d) Al no tener puntos críticos, esta función racional carece de máximos y mínimos locales.
e) A partir de todos los datos obtenidos en los apartados anteriores, el esbozo de la gráfica de f es semajante a la siguiente gráfica:
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