Dada la función , se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.

Solución:

a) Se trata de una función racional. Su dominio son todos los números reales excepto los que anulan el denominador. Calculamos las raíces del denominador:

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=-2, por tanto el dominio de f es:

• Punto de corte con el eje x (y=0):
  
  Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=3, x=-1. Los puntos de corte con el eje x son (3,0) y (-1,0).
• Punto de corte con el eje y (x=0):
  
  Luego, el punto de corte con el eje y es .

b) Cálculo de asíntotas:

• Asíntota vertical en x=1:
  
  Luego, existe una asíntota vertical de ecuación x=1.
• Asíntota vertical en x=-2:
  
  También existe una asíntota vertical de ecuación x=-2.
• Asíntota horizontal:
  
  Existe una asíntota horizontal de ecuación y=1.

c) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

Ecuación de segundo grado que no tiene solución real, luego, f no tiene puntos críticos.
Para estudiar la monotonía solo tenemos en cuenta el dominio de f:

• f crece en el intervalo .

d) Al no tener puntos críticos, esta función racional carece de máximos y mínimos locales.

e) A partir de todos los datos obtenidos en los apartados anteriores, el esbozo de la gráfica de f es semajante a la siguiente gráfica:

♦