Problema 660

Dada la función f(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}, se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.


Solución:

a) Se trata de una función racional. Su dominio son todos los números reales excepto los que anulan el denominador. Calculamos las raíces del denominador:

x^2+x-2=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=-2, por tanto el dominio de f es:

\text{Dom}f=\mathbb R\setminus\{1,-2\}

  • Punto de corte con el eje x (y=0):
    0=\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}\\\\x^2-2x-3=0
    Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=3, x=-1. Los puntos de corte con el eje x son (3,0) y (-1,0).
  • Punto de corte con el eje y (x=0):
    y=\dfrac{0^2-2\cdot0-3}{0^2+0-2}=\dfrac32
    Luego, el punto de corte con el eje y es (0,\frac32).

b) Cálculo de asíntotas:

  • Asíntota vertical en x=1:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac{-4}{0^+}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac{-4}{0^-}=+\infty
    Luego, existe una asíntota vertical de ecuación x=1.
  • Asíntota vertical en x=-2:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac{5}{0^-}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^-}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac{5}{0^+}=+\infty
    También existe una asíntota vertical de ecuación x=-2.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}1=1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow-\infty}1=1
    Existe una asíntota horizontal de ecuación y=1.

c) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x^2+x-2)-(x^2-2x-3)(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}=\dfrac{3x^2+2x+7}{(x^2+x-2)^2}=0~;\\\\3x^2+2x+7=0

Ecuación de segundo grado que no tiene solución real, luego, f no tiene puntos críticos.
Para estudiar la monotonía solo tenemos en cuenta el dominio de f:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en el intervalo (-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(1,+\infty).

d) Al no tener puntos críticos, esta función racional carece de máximos y mínimos locales.


e) A partir de todos los datos obtenidos en los apartados anteriores, el esbozo de la gráfica de f es semajante a la siguiente gráfica:

p660

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