Problema 661

Un modelo de coche se fabrica en tres versiones: Van, Urban y Suv. El 25% de los coches son de motor híbrido. El 20% son de tipo Van y el 40% de tipo Urban. El 15% de los de tipo Van y el 40% de los de tipo Urban son híbridos. Se elige un coche al azar. Calcula:

a) La probabilidad de que sea de tipo Urban, sabiendo que es híbrido.
b) La probabilidad de que sea de tipo Van, sabiendo que no es híbrido.
c) La probabilidad de que sea híbrido, sabiendo que es de tipo Suv.
d) La probabilidad de que no sea de tipo Van ni tampoco híbrido.


Solución:

A partir del enunciado definimos los siguientes sucesos: V es el suceso «coche tipo Van», U es el suceso «coche tipo Urban», S es el suceso «coche tipo Suv» y H es el suceso «coche con motor híbrido».
También sabemos las siguientes probabilidades:

\bullet~P[H]=0.25\\\bullet~P[V]=0.2\\\bullet~P[U]=0.4\\\bullet~P[H/V]=0.15\\\bullet~P[H/U]=0.4

a) Nos piden la probabilidad P[U/H]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[U/H]=\dfrac{P[U]\cdot P[H/U]}{P[H]}=\dfrac{0.4\cdot0.4}{0.25}=0.64


b) Nos piden la probabilidad P[V/\overline H]. También utilizamos el teorema de Bayes:

P[V/\overline H]=\dfrac{P[V]\cdot P[\overline H/V]}{P[\overline H]}=\dfrac{P[V]\cdot(1-P[H/V])}{1-P[H]}=\\\\=\dfrac{0.2\cdot(1-0.15)}{1-0.25}=\dfrac{0.17}{0.75}=0.227


c) Nos piden la probabilidad P[H/S]. Recordamos la fórmula de la probabilidad condicionada:

P[H]=P[V]\cdot P[H/V]+P[U]\cdot P[H/U]+P[S]\cdot P[H/S]\qquad(1)

donde

P[S]=1-P[V]-P[U]=1-0.2-0.4=0.4

Entonces, de la fórmula (1):

P[H/S]=\dfrac{P[H]-P[V]\cdot P[H/V]-P[U]\cdot P[H/U]}{P[S]}=\\\\=\dfrac{0.25-0.2\cdot0.15-0.4\cdot0.4}{0.4}=\dfrac{0.06}{0.4}=0.15


d) Nos piden la probabilidad P[\overline V\cap\overline H]. Utilizamos una de las leyes de Morgan:

P[\overline V\cap\overline H]=P[\overline{V\cup H}]=1-P[V\cup H]

Hemos de calcular la probabilidad de la unión:

P[V\cup H]=P[V]+P[H]-P[V\cap H]=P[V]+P[H]-P[V]\cdot P[H/V]=\\\\=0.2+0.25-0.2\cdot0.15=0.42

Luego:

P[\overline V\cap\overline H]=1-0.42=0.58

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