Problema 662

Una matriz cuadrada A se dice que es ortogonal si tiene inversa y dicha inversa coincide con su matriz traspuesta. Dada la matriz

A=\begin{pmatrix}\frac13&\frac{-2}3&\frac23\\\frac23&\frac23&\frac13\\\frac{-2}3&\frac13&\frac23\end{pmatrix}

a) Calcula el determinante de A.
b) Comprueba que A es una matriz ortogonal.
c) Resuelve el sistema de ecuaciones A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.


Solución:

a) Podemos escribir la matriz A del siguiente modo:

A=\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&2&1\\-2&1&2\end{pmatrix}

Utilizamos la propiedad 6 de los determinantes:

|A|=\left(\dfrac13\right)^3\cdot\begin{vmatrix}1&-2&2\\2&2&1\\-2&1&2\end{vmatrix}=\dfrac1{27}\cdot(4+4+4+8+8-1)=1


b) Sabemos que A^{-1} es la matriz inversa de A ya que AA^{-1}=I.
Si A es ortogonal entonces A^{-1}=A^t, por lo que debe cumplirse que AA^t=I. Veámoslo:

AA^t=\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&2&1\\-2&1&2\end{pmatrix}\cdot\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}1&2&-2\\-2&2&1\\2&1&2\end{pmatrix}=\dfrac19\begin{pmatrix}9&0&0\\0&9&0\\0&0&9\end{pmatrix}=I

Luego, A es ortogonal.


c) Si la ecuación matricial

A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

la escribimos así, AX=B, entonces

X=A^{-1}B

Pero, como A es una matriz ortogonal, entonces:

X=A^tB=\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}1&2&-2\\-2&2&1\\2&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/3\\1/3\\5/3\end{pmatrix}

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