Problema 663

Consideremos la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-3x+3&\text{si}&x\leq1\\\\\dfrac{ax^2}{x^2+1}&\text{si}&x>1\end{array}\right.

a) Calcula el valor de a para que la función y=f(x) sea continua en todo su dominio.
b) Para el valor de a obtenido, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
c) Para el valor de a obtenido, calcula los asíntotas horizontales y verticales, si existen.
d) Calcula \displaystyle\int_{-2}^1f(x)~dx.


Solución:

a) Por separado, las dos funciones que definen la función a trozos f tienen por dominio \mathbb R, donde es continua y derivable por tratarse de una función polinómica y otra racional que no anula su denominador para ningún valor real. Sólo hemos de estudiar la continuidad en x=1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{ax^2}{x^2+1}=\dfrac a2\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}x^2-3x+3=1\\\\\bullet~f(1)=1^2-3\cdot1+3=1

Para que f sea continua, ha de ser:

\dfrac a2=1

de donde, a=2.


b) Para estudiar la monotonía, primero calculamos los puntos críticos de f:

\bullet~(x^2-3x+3)'=2x-3=0\rightarrow x=\dfrac32\\\bullet~\left(\dfrac{2x^2}{x^2+1}\right)'=\dfrac{4x(x^2+1)-2x^2\cdot2x}{(x^2+1)^2}=0\\\\4x^3+4x-4x^3=0\\4x=0\rightarrow x=0

Ninguno de los dos puntos críticos son válidos ya que x=\dfrac32\nleq1 y x=0\ngtr1.
Estudiamos la monotonía en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f decrece en x\in(-\infty,1)
  • f crece en x\in(1,+\infty)

c) Asíntotas verticales no existen ya que el dominio de f es \mathbb R donde es continua.
Calculamos la asíntota horizontal:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x^2}{x^2+1}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}2=2\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2-3x+3=\infty-\infty=\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2=+\infty

Luego, la función f se aproxima asintóticamente a y=2 cuanto x→+∞, pero diverge cuando x→-∞.


d) Calcular \displaystyle\int_{-2}^1f(x)~dx, es decir:

\displaystyle\int_{-2}^1x^2-3x+3~dx=\left[\dfrac{x^3}3-\dfrac{3x^2}2+3x\right]_{-2}^1=\left(\dfrac{1^3}3-\dfrac{3}2+3\right)-\left(\dfrac{(-2)^3}3-\dfrac{12}2-6\right)=\\\\=\dfrac{11}6-\dfrac{-44}3=\dfrac{33}2

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