Problema 664

Un estudiante acude a la universidad el 70% de las veces usando su propio vehículo, y el doble de veces en transporte público que andando. Llega tarde el 1% de las veces que acude andando, el 3% de las que lo hace en transporte público y el 6% de las que lo hace con su propio vehículo. Se pide:

a) La probabilidad de que un día cualquiera llegue puntualmente.
b) La probabilidad de que haya acudido en transporte público, sabiendo que ha llegado tarde.
c) La probabilidad de que no haya acudido andando, sabiendo que ha llegado puntualmente.


Solución:

Definimos los siguientes sucesos a partir del enunciado: V es el suceso “acudir en vehículo propio”, P es el suceso “acudir en transporte público”, A es el suceso “acudir andando” y T es el suceso “llegar tarde”.
En el enunciado se proporcionan las siguientes probabilidades:

  • P[V]=0.7
  • P[P]=2P[A]
  • P[T/A]=0.01
  • P[T/P]=0.03
  • P[T/V]=0.06

a) Nos piden calcular P[\overline T].

P[\overline T]=1-P[T]\qquad(1)

donde

P[T]=P[A]\cdot P[T/A]+P[P]\cdot P[T/P]+P[V]\cdot P[T/V]\qquad(2)

Sabemos que V, P y A son todas las formas posibles de llegar a la universidad, luego:

P[V]+P[P]+P[A]=1

Si hacemos el cambio P[A]=x, entonces:

0.7+2x+x=1

ecuación cuya solución es x=0.1. Por tanto, P[A]=0.1\text{ y }P[P]=0.2.
Sustituyendo en (2):

P[T]=0.1\cdot0.01+0.2\cdot0.03+0.7\cdot0.06=0.049

y sustituyendo en (1) tenemos la probabilidad de llegar puntualmente:

P[\overline T]=1-0.049=0.951


b) Nos piden P[P/T]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[P/T]=\dfrac{P[P]\cdot P[T/P]}{P[T]}=\dfrac{0.2\cdot0.03}{0.049}=0.122


c) Nos piden calcular P[\overline A/\overline T]. Utilizamos en primer lugar el teorema de Bayes:

P[\overline A/\overline T]=\dfrac{P[\overline A]\cdot P[\overline T/\overline A]}{P[\overline T]}\qquad(3)

pero

P[\overline T/\overline A]=\dfrac{P[\overline T\cap\overline A]}{P[\overline A]}=\dfrac{P[\overline T\cap\overline A]}{1-P[A]}\qquad(4)

Utilizamos una de las leyes de Morgan:

P[\overline T\cap\overline A]=P[\overline{T\cup A}]=1-P[T\cup A]\qquad(5)

Calculamos P[T\cup A]:

P[T\cup A]=P[T]+P[A]-P[T\cap A]=P[T]+P[A]-P[A]\cdot P[T/A]=\\\\=0.049+0.1-0.1\cdot0.01=0.148

Sustituyendo en (5):

P[\overline T\cap\overline A]=1-0.148=0.852

Sustituyendo en (4):

P[\overline T/\overline A]=\dfrac{0.852}{1-0.1}=0.9467

Y sustituyendo en (3):

P[\overline A/\overline T]=\dfrac{(1-P[A])\cdot P[\overline T/\overline A]}{1-P[T]}=\dfrac{(1-0.1)\cdot0.9467}{1-0.049}=0.8959

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