Problema 665

Una pastelería vende dos clases de cajas de bombones. En las cajas denominadas EXTRA incluye 15 bombones de tipo A y 30 de tipo B, mientras que las cajas denominadas DELUXE contienen 30 bombones de tipo A y 15 de tipo B.
Con cada bombón de tipo A obtiene un beneficio de 50 céntimos, y con cada uno de tipo B un beneficio de 40 céntimos. Denominando x al número de cajas EXTRA, e y al número de cajas DELUXE que vende, se pide:

a) Calcula la función de beneficios de la pastelería.
b) Si dispone de 450 bombones de cada tipo, calcula el número de cajas x e y que deberá vender de cada clase para obtener un beneficio máximo. Calcula dicho beneficio.


Solución:

a) La función beneficios es

B(x,y)=(0.5\cdot15+0.4\cdot30)x+(0.5\cdot30+0.4\cdot15)y\\\\B(x,y)=19.5x+21y

en euros.


b) A partir de los datos aportados en el problema, podemos construir la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&A&B\\\hline\text{EXTRA}&15&30\\\hline\text{DELUXE}&30&15\\\hline\end{array}

  • Se dispone de 450 bombones de tipo A: 15x+30y\leq450
  • Se dispone de 450 bombones de tipo B: 30x+15y\leq450

A estas dos restricciones, añadimos las restricciones x\geq0,~y\geq0.

Escribimos las ecuaciones a partir de las restricciones y representamos la recta en la siguiente gráfica:

\bullet~15x+30y=450\rightarrow y=\dfrac{30-x}2\\\\\bullet~30x+15y=450\rightarrow y=30-2x\\\bullet~x=0\\\bullet~y=0

p665

Observamos la región factible que es el lugar de los puntos que verifican las restricciones.
Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones:

A=\left\{\begin{array}{l}x=0\\15x+30y=450\end{array}\right.\rightarrow A=(0,15)\\B=\left\{\begin{array}{l}30x+15y=450\\15x+30y=450\end{array}\right.\rightarrow B=(10,10)\\C=\left\{\begin{array}{l}30x+15y=450\\y=0\end{array}\right.\rightarrow C=(15,0)\\D=\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.\rightarrow D=(0,0)

Evaluamos cada vértice en la función beneficio B(x,y)=19.5x+21y:

A\rightarrow B(0,15)=19.5\cdot0+21\cdot15=315\\B\rightarrow B(10,10)=405\\C\rightarrow B(15,0)=292.5\\D\rightarrow B(0,0)=0

Por tanto, para maximizar beneficios se deben producir 10 cajas EXTRA y 10 cajas DELUXE obteniéndose así un beneficio de 405 €.

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