Una pastelería vende dos clases de cajas de bombones. En las cajas denominadas EXTRA incluye 15 bombones de tipo A y 30 de tipo B, mientras que las cajas denominadas DELUXE contienen 30 bombones de tipo A y 15 de tipo B.
Con cada bombón de tipo A obtiene un beneficio de 50 céntimos, y con cada uno de tipo B un beneficio de 40 céntimos. Denominando x al número de cajas EXTRA, e y al número de cajas DELUXE que vende, se pide:

a) Calcula la función de beneficios de la pastelería.
b) Si dispone de 450 bombones de cada tipo, calcula el número de cajas x e y que deberá vender de cada clase para obtener un beneficio máximo. Calcula dicho beneficio.

Solución:

a) La función beneficios es

en euros.

b) A partir de los datos aportados en el problema, podemos construir la siguiente tabla:

• Se dispone de 450 bombones de tipo A:
• Se dispone de 450 bombones de tipo B:

A estas dos restricciones, añadimos las restricciones .

Escribimos las ecuaciones a partir de las restricciones y representamos la recta en la siguiente gráfica:

Observamos la región factible que es el lugar de los puntos que verifican las restricciones.
Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones:

Evaluamos cada vértice en la función beneficio :

Por tanto, para maximizar beneficios se deben producir 10 cajas EXTRA y 10 cajas DELUXE obteniéndose así un beneficio de 405 €.

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