Dada la función , se pide:
a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función.
Solución:
a) f es una función racional cuyo dominio son todos los números reales exceptos los que anulan el denominador:
Luego, el dominio es .
- Puntos de corte con el eje x (y=0):
f corta al eje x en el punto (1,0). - Punto de corte con el eje y (x=0):
f corta el eje y en el punto.
b) Estudiamos si existe asíntota vertical en x=2:
Por tanto, existe una asíntota vertical de ecuación x=2.
Calculamos ahora la asíntota horizontal:
f tiene una asíntota horizontal de ecuación y=0.
c) Para estudiar la monotonía comenzamos calculando los puntos críticos de f:
Con este punto crítico y teniendo en cuenta el dominio de f, construimos la siguiente tabla:
- f decrece en
.
- f crece en
.
d) Según lo estudiado en el apartado c) en x=0 hay un mínimo absoluto en el punto .
e) Con todo lo estudiado en los apartados anteriores, podemos hacer un esbozo de la gráfica semejante a la siguiente figura:
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