Problema 666

Dada la función $f(x)=\dfrac{x-1}{(x-2)^2}$ , se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función.

Solución:

a) f es una función racional cuyo dominio son todos los números reales exceptos los que anulan el denominador:

$(x-2)^2=0~;\\\\x-2=0~;\\\\x=2$

Luego, el dominio es $\mathbb R\setminus\{2\}$ .

Puntos de corte con el eje x (y=0):
$0=\dfrac{x-1}{(x-2)^2}~;\\\\x-1=0~;\\\\x=1$
f corta al eje x en el punto (1,0).
Punto de corte con el eje y (x=0):
$y=\dfrac{0-1}{(0-2)^2}~;\\\\y=\dfrac{-1}4$
f corta el eje y en el punto $(0,\frac{-1}4)$ .

b) Estudiamos si existe asíntota vertical en x=2:

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x-1}{(x-2)^2}=\dfrac1{0^+}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}\dfrac{x-1}{(x-2)^2}=\dfrac1{0^+}=+\infty$

Por tanto, existe una asíntota vertical de ecuación x=2.
Calculamos ahora la asíntota horizontal:

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x-1}{(x-2)^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x-1}{x^2-4x+4}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1x=0^+\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x-1}{(x-2)^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x-1}{x^2-4x+4}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac1x=0^-$

f tiene una asíntota horizontal de ecuación y=0.

c) Para estudiar la monotonía comenzamos calculando los puntos críticos de f:

$f'(x)=\dfrac{(x-2)^2-(x-1)\cdot2(x-2)}{(x-2)^4}=\dfrac{x-2-2(x-1)}{(x-2)^3}=\dfrac{-x}{(x-2)^3}=0~;\\\\-x=0~;\\\\x=0$

Con este punto crítico y teniendo en cuenta el dominio de f, construimos la siguiente tabla:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}$