Problema 667

En un estudio realizado en un comercio se ha determinado que el 68% de las compras se pagan con tarjeta de crédito. El 15% de las compras superan los 500 € y ambas circunstancias (una compra supera los 500 € y se paga con tarjeta de crédito) se da el 5% de las veces. Calcula la probabilidad de que:

a) Una compra no supere los 500 € y se pague en efectivo.
b) Una compra no pase de 500 € si no se ha pagado con tarjeta de crédito.
c) Una compra se pague con tarjeta de crédito si no ha superado los 500 €.


Solución:

A partir del enunciado definimos los siguientes sucesos: T es el suceso “pagar con tarjeta” y S es el suceso “superar los 500€”.
También tenemos las siguientes probabilidades:

  • P[T]=0.68
  • P[S]=0.15
  • P[T\cap S]=0.05

a) Nos piden la probabilidad P[\overline S\cap\overline T].
Utilizamos en primer lugar una de las leyes de Morgan:

P[\overline S\cap\overline T]=P[\overline{S\cup T}]=1-P[S\cup T]\qquad(1)

donde

P[S\cup T]=P[S]+P[T]-P[S\cap T]=0.15+0.68-0.05=0.78

Sustituyendo en (1):

P[\overline S\cap\overline T]=1-0.78=0.22


b) Nos piden la probabilidad P[\overline S/\overline T]:

P[\overline S/\overline T]=\dfrac{P[\overline S\cap\overline T]}{P[\overline T]}=\dfrac{P[\overline S\cap\overline T]}{1-P[T]}=\dfrac{0.22}{1-0.68}=0.6875


c) Nos piden la probabilidad P[T/\overline S]. Utilizamos en primer lugar el teorema de Bayes:

P[T/\overline S]=\dfrac{P[T]\cdot P[\overline S/T]}{P[\overline S]}=\dfrac{P[T]\cdot(1-P[S/T])}{1-P[S]}\qquad(2)

Pero

P[S/T]=\dfrac{P[S\cap T]}{P[T]}=\dfrac{0.05}{0.68}=0.0735

Sustituyendo en (2):

P[T/\overline S]=\dfrac{P[T]\cdot(1-P[S/T])}{1-P[S]}=\dfrac{0.68\cdot(1-0.0735)}{1-0.15}=0.7412

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