Problema 667

En un estudio realizado en un comercio se ha determinado que el 68% de las compras se pagan con tarjeta de crédito. El 15% de las compras superan los 500 € y ambas circunstancias (una compra supera los 500 € y se paga con tarjeta de crédito) se da el 5% de las veces. Calcula la probabilidad de que:

a) Una compra no supere los 500 € y se pague en efectivo.
b) Una compra no pase de 500 € si no se ha pagado con tarjeta de crédito.
c) Una compra se pague con tarjeta de crédito si no ha superado los 500 €.

Solución:

A partir del enunciado definimos los siguientes sucesos: T es el suceso “pagar con tarjeta” y S es el suceso “superar los 500€”.
También tenemos las siguientes probabilidades:

$P[T]=0.68$
$P[S]=0.15$
$P[T\cap S]=0.05$

a) Nos piden la probabilidad $P[\overline S\cap\overline T]$ .
Utilizamos en primer lugar una de las leyes de Morgan:

$P[\overline S\cap\overline T]=P[\overline{S\cup T}]=1-P[S\cup T]\qquad(1)$

donde

$P[S\cup T]=P[S]+P[T]-P[S\cap T]=0.15+0.68-0.05=0.78$

Sustituyendo en (1):

$P[\overline S\cap\overline T]=1-0.78=0.22$

b) Nos piden la probabilidad $P[\overline S/\overline T]$ :

$P[\overline S/\overline T]=\dfrac{P[\overline S\cap\overline T]}{P[\overline T]}=\dfrac{P[\overline S\cap\overline T]}{1-P[T]}=\dfrac{0.22}{1-0.68}=0.6875$