Problema 668

Dadas las matrices

A=\begin{pmatrix}2&-1&5\\3&1&-2\\5&1&3\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}7&4&1\\1&-1&4\\8&4&6\end{pmatrix}

se pide:

a) Calcula A⁻¹.
b) Calcula una matriz X, de orden 3×3, que cumpla AX=C.


Solución:

a) Para calcular la matriz inversa de A utilizamos la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}2&-1&5\\3&1&-2\\5&1&3\end{vmatrix}=6+10+15-25+9+4=19

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}5&-19&-2\\8&-19&-7\\-3&19&5\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\dfrac1{19}\cdot\begin{pmatrix}5&8&-3\\-19&-19&19\\-2&-7&5\end{pmatrix}


b) Despejamos X de la ecuación matricial:

AX=C~;\\\\X=A^{-1}C

Es decir:

X=\dfrac1{19}\cdot\begin{pmatrix}5&8&-3\\-19&-19&19\\-2&-7&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7&4&1\\1&-1&4\\8&4&6\end{pmatrix}=\dfrac1{19}\cdot\begin{pmatrix}19&0&19\\0&19&19\\19&19&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}

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