Problema 669

La caída de un meteorito en la Antártida provocó el deshielo de una superficie con una extensión en km² que viene dada por f(t)=\dfrac{10t+21}{t+3}, siendo t el número de días transcurridos desde el impacto.

a) ¿Cuál fue la superficie deshelada después de 6 días del impacto? ¿Y después de 87 días?
b) Estudia si la superficie deshelada crece o decrece a lo largo del tiempo.
c) Otro científico afirmó que la superficie deshelada venía dada por la función g(t)=10-\dfrac9{t+3}. Comprueba si hay o no diferencias entre las dos funciones f y g.
d) ¿Tiene algún límite la extensión del deshielo?


Solución:

a) La superficie deshelada después de 6 días es:

f(6)=\dfrac{10\cdot6+21}{6+3}=\dfrac{81}{9}=9~km^2

La superficie deshelada después de 87 días es:

f(87)=\dfrac{10\cdot87+21}{87+3}=\dfrac{891}{90}=9.9~km^2


b) Se trata de estudiar la monotonía de f. Para ello comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(t)=\dfrac{10(t+3)-(10t+21)}{(t+3)^2}=\dfrac{10t+30-10t-21}{(t+3)^2}=\dfrac9{(t+3)^2}=0\\\\9=0!!!

f no tiene puntos críticos, luego solo tendremos en cuenta el dominio de f para estudiar su monotonía:

\begin{array}{|c|c|}\hline t&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(t)&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(t)&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en el intervalo (0,+∞).

c) Simplificamos la expresión de g:

g(t)=10-\dfrac9{t+3}=\dfrac{10(t+3)-9}{t+3}=\dfrac{10t+30-9}{t+3}=\dfrac{10t+21}{t+3}=f(t)

Luego, f y g son la misma función.


d) La función f no tiene máximos y es creciente en todo su dominio. Calculamos si el área deshelada diverge o está acotada:

\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{10t+21}{t+3}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{10t}{t}=\lim_{t\rightarrow+\infty}10=10

Luego, el área deshelada se aproxima a un máximo de 10 km².

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