Problema 670

En una casa hay tres llaveros. El primer llavero (AZUL) tiene 5 llaves. El segundo (ROJO) tiene 4 llaves y el tercero (VERDE) tiene 3 llaves. En cada llavero hay una única llave que abre la puerta del trastero. Se escoge al azar uno de los llaveros. Se pide:

a) Calcula la probabilidad de abrir el trastero con la primera llave que se prueba del llavero escogido.
b) Si se abre el trastero con la primera llave que se prueba, ¿cuál es la probabilidad de que se haya escogido el llavero VERDE?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera llave que se prueba del llavero escogido al azar no abra y sí que lo haga una segunda (distinta de la anterior) que se prueba del mismo llavero?


Solución:

Sea A es el suceso “salir llavero azul”, R es el suceso “salir llavero rojo”, V es el suceso “salir llavero verde”, T es el suceso “elegir la llave del trastero en el primer intento” y T_2 es el suceso “elegir la llave del trastero en el segundo intento”.

Con los datos del problema construimos el siguiente diagrama de árbol:

p670

a) Nos piden la probabilidad total P[T] con la primera llave escogida:

P[T]=P[A]\cdot P[T/A]+P[R]\cdot P[T/R]+P[V]\cdot P[T/V]=\\\\=\dfrac13\cdot\dfrac15+\dfrac13\cdot\dfrac14+\dfrac13\cdot\dfrac13=\dfrac{47}{180}


b) Nos piden la probabilidad P[V/T] en la primera llave escogida. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[V/T]=\dfrac{P[V]\cdot P[T/V]}{P[T]}=\dfrac{\frac13\cdot\frac13}{\frac{47}{180}}=\dfrac2{47}


c) Nos piden la probabilidad de que salga la llave del trastero en la segunda llave escogida P[T_2]:

P[T_2]=P[A]\cdot P[\overline T/A]\cdot P[T_2/\overline T/A]+P[R]\cdot P[\overline T/R]\cdot P[T_2/\overline T/R]+\\\\+P[V]\cdot P[\overline T/V]\cdot P[T_2/\overline T/V]=\dfrac13\cdot\dfrac45\cdot\dfrac14+\dfrac13\cdot\dfrac34\cdot\dfrac13+\dfrac13\cdot\dfrac23\cdot\dfrac12=\dfrac{47}{180}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s