Problema 671

Dadas las matrices

A=\begin{pmatrix}1&-2&1\\2&0&-3\\0&1&-1\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}1&-2&0\\-1&2&2\\2&-1&3\end{pmatrix}\text{ y el vector } c=\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}

se pide:

a) Calcula el determinante de la matriz A y calcula A⁻¹.
b) Determina el vector x que verifica Ax=B^tc, donde B^t representa la matriz traspuesta de B.


Solución:

a) Calculamos el determinante de A utilizando la regla de Sarrus:

|A|=\begin{vmatrix}1&-2&1\\2&0&-3\\0&1&-1\end{vmatrix}=2-4+3=1

Para calcular la matriz inversa de A, utilizamos la siguiente fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}3&2&2\\-1&-1&-1\\6&5&4\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1&6\\2&-1&5\\2&-1&4\end{pmatrix}


b) De la ecuación matricial Ax=B^tc resulta

x=A^{-1}B^tc\\\\x=\begin{pmatrix}3&-1&6\\2&-1&5\\2&-1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&2\\-2&2&-1\\0&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&7&25\\4&6&20\\4&4&17\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}58\\46\\39\end{pmatrix}

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