Problema 672

Los ingresos y costes anuales, en miles de euros, de una fábrica de mochilas vienen dados, respectivamente, por las funciones

I(x)=4x-9\qquad C(x)=0.01x^2+3x

donde la variable x expresa en euros el precio de venta de una mochila. Se pide:

a) Calcula la función de beneficios.
b) ¿Cuál ha de ser el precio de venta x para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es dicho beneficio máximo?
c) Para la función de beneficios, determina los puntos de corte con los ejes y las zonas de crecimiento y decrecimiento. Representa gráficamente dicha función.
d) Razona para qué precios de venta (valores de x) la empresa tendría pérdidas.


Solución:

a) La función beneficios B se obtiene restando los costes C a los ingresos I:

B(x)=I(x)-C(x)=4x-9-(0.01x^2+3x)=-0.01x^2+x-9


b) Para obtener el máximo de una función, calculamos sus puntos críticos:

B'(x)=-0.02x+1=0~;\\\\0.02x=1~;\\\\x=50

Comprobamos si este punto crítico corresponde a un máximo utilizando el test de la derivada segunda:

B''(x)=-0.02~;\\\\B''(50)=-0.02

Según el test de la derivada segunda x=50 corresponde a un máximo. El valor del beneficio es:

B(50)=-0.01\cdot50^2+50-9=16

Es decir, para un precio de venta de las mochilas de x=50 € se obtendrá un beneficio de 16000 euros.


c) Calculamos los puntos de corte con los ejes.

  • Punto de corte con el eje x (B=0):
    0=-0.01x^2+x-9
    Ecuación cuyas soluciones son x=10 y x=90. Los puntos de corte son (10,0) y (90,0).
  • Puntos de corte con el eje B (x=0):
    B=-0.01\cdot0^2+0-9=-9
    Luego, el punto de corte con el eje B es (0,-9).

Estudiamos la monotonía de la función B teniendo en cuenta su dominio, es decir x\geq0, y sus puntos críticos, la estudiamos en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,50)&(50,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }B'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }B(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

La función B es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava creciente para x<50 y decreciente para x>50.

p672


d) La empresa tiene pérdidas donde la función B de beneficios es negativa es decir, para x<10 o x>90 euros.

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