Los ingresos y costes anuales, en miles de euros, de una fábrica de mochilas vienen dados, respectivamente, por las funciones
donde la variable x expresa en euros el precio de venta de una mochila. Se pide:
a) Calcula la función de beneficios.
b) ¿Cuál ha de ser el precio de venta x para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es dicho beneficio máximo?
c) Para la función de beneficios, determina los puntos de corte con los ejes y las zonas de crecimiento y decrecimiento. Representa gráficamente dicha función.
d) Razona para qué precios de venta (valores de x) la empresa tendría pérdidas.
Solución:
a) La función beneficios B se obtiene restando los costes C a los ingresos I:
b) Para obtener el máximo de una función, calculamos sus puntos críticos:
Comprobamos si este punto crítico corresponde a un máximo utilizando el test de la derivada segunda:
Según el test de la derivada segunda x=50 corresponde a un máximo. El valor del beneficio es:
Es decir, para un precio de venta de las mochilas de x=50 € se obtendrá un beneficio de 16000 euros.
c) Calculamos los puntos de corte con los ejes.
- Punto de corte con el eje x (B=0):
Ecuación cuyas soluciones son x=10 y x=90. Los puntos de corte son (10,0) y (90,0). - Puntos de corte con el eje B (x=0):
Luego, el punto de corte con el eje B es (0,-9).
Estudiamos la monotonía de la función B teniendo en cuenta su dominio, es decir 
La función B es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava creciente para x<50 y decreciente para x>50.
d) La empresa tiene pérdidas donde la función B de beneficios es negativa es decir, para x<10 o x>90 euros.
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