Problema 673

Un dado normal tiene sus cara numeradas del número 1 al 6. Otro dado está trucado y tiene cuatro caras numeradas con el 5 y las otras dos caras numeradas con el 6. Se elige un dado al azar y se realizan dos tiradas con el dado elegido. Se pide:

a) Calcula la probabilidad de sacar un 6 en la primera tirada y un 5 en la segunda.
b) Calcula la probabilidad de que la suma de los resultados obtenidos entre las dos tiradas sea 11.
c) Si al realizar las dos tiradas con el dado elegido al azar se obtiene un 6 en la primera tirada y un 5 en la segunda, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido el dado trucado?


Solución:

a) Llamamos A al dado normal y B al dado trucado.
El siguiente diagrama de árbol representa la situación planteada. Primero la elección al azar del dado, después el lanzamiento de ese dado y por último el lanzamiento del segundo dado:

p673

Luego, la probabilidad de el suceso T, “obtener un 6 en la primera tirada y un 5 en la segunda” es:

P[T]=\dfrac12\cdot\dfrac16\cdot\dfrac46+\dfrac12\cdot\dfrac26\cdot\dfrac16=\dfrac{6}{72}=\dfrac1{12}

En esta experiencia de lanzar dos dados, la probabilidad de obtener un resultado en la segunda tirada es independiente de lo que haya salido en la primera, es decir, son sucesos independientes.


b) Para sacar 11 al sumar los lanzamientos de dos dados, solo hay dos posibilidades: sacar un 5 en la primera tirada y un 6 en la segunda, o sacar un 6 en la primera y un 5 en la segunda. Llamamos R a dicho suceso:

P[R]=P[A]\cdot\Big(P[5\text{ dado A}]\cdot P[6\text{ dado B}]+P[6\text{ dado A}]\cdot P[5\text{ dado B}]\Big)+\\\\+P[B]\cdot\Big(P[5\text{ dado B}]\cdot P[6\text{ dado A}]+P[6\text{ dado B}]\cdot P[5\text{ dado A}]\Big)=\\\\=\dfrac12\cdot\left(\dfrac16\cdot\dfrac26+\dfrac16\cdot\dfrac46\right)+\dfrac12\cdot\left(\dfrac46\cdot\dfrac16+\dfrac26\cdot\dfrac16\right)=\dfrac16


c) El diagrama de árbol del apartado a) equivale al siguiente diagrama de árbol:

p673b

donde T es el suceso sacar primero 6 y luego un 5.
Nos piden la probabilidad P[B/T]. Sabiendo que P[T]=\dfrac1{12}, utilizamos el teorema de Bayes:

P[B/T]=\dfrac{P[B]\cdot P[T/B]}{P[T]}=\dfrac{\frac12\cdot\frac2{36}}{\frac1{12}}=\dfrac13

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