Problema 674

Un inversor decidió invertir un total de 42000 € entre tres productos:

a) Una cuenta de ahorros por la que recibe unos intereses anuales del 5%.
b) Un depósito a plazo fijo por el que le pagan unos intereses anuales del 7%.
c) Unos bonos con unos intereses anuales del 9%.

Al cabo de un año, los intereses le han proporcionado un beneficio de 2600 €.
Si los intereses que ha recibido de la cuenta de ahorros son 200€ menos que la suma de los intereses que ha percibido por las otras dos inversiones, ¿qué cantidad invirtió en cada producto?


Solución:

Llamamos x al dinero invertido en la cuenta de ahorros, y al dinero invertido en el depósito a plazo fijo y z al dinero invertido en los bonos.

  • Los intereses le han proporcionado un beneficio de 2600€:
    0.05x+0.07y+0.09z=2600
  • Los intereses recibidos en la cuenta de ahorros son 200€ menos que la suma invertida en las otras dos inversiones:
    x+200=y+z
  • El inversor decidió invertir un total de 42000€:
    x+y+z=42000

Uniendo las tres ecuaciones, tenemos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{rl}0.05x+0.07y+0.09z&=2600\\x-y-z&=-200\\x+y+z&=42000\end{array}\right.

Multiplicamos por 100 la primera ecuación:

\left\{\begin{array}{rl}5x+7y+9z&=260000\\x-y-z&=-200\\x+y+z&=42000\end{array}\right.

Resolvemos el sistema haciendo transformaciones de Gauss:

\left\{\begin{array}{rl}5x+7y+9z&=260000\\x-y-z&=-200\\x+y+z&=42000\end{array}\right.\rightarrow\left[\begin{array}{c}E_2\leftarrow5E_2-E_1\\E_3\leftarrow5E_3-E_1\end{array}\right]\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}5x+7y+9z&=260000\\-12y-14z&=-261000\\-2y-4z&=-50000\end{array}\right.\rightarrow\\\\\rightarrow\Big[E_3\leftarrow6E_3-E_2\Big]\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}5x+7y+9z&=260000\\-12y-14z&=-261000\\-10z&=-39000\end{array}\right.

De la tercera ecuación obtenemos z=3900. De la segunda ecuación:

-12y-14z=-261000~;\\\\-12y-54600=-261000~;\\\\-12y=-206400~;\\\\y=17200

Y sustituyendo en la primera ecuación:

5x+7y+9z=260000~;\\\\5x+120400+35100=260000~;\\\\5x=104500~;\\\\x=20900

Luego, el inversor invirtió 20900€ en la cuenta de ahorros, 17200€ en el depósito a plazo fijo y 3900€ en los bonos.