Problema 675

Una explotación minera extrae f(t)=30+\dfrac{3t}2-\dfrac{t^3}{800} toneladas de carbón por año, donde la variable t indica el tiempo transcurrido, en años, desde el inicio de la explotación. Se pide:

a) Calcula en qué año se alcanza el máximo de extracción y cuál es dicho valor.
b) Si se necesita extraer como mínimo 10 toneladas por año para que la explotación sea rentable, estudia si en el año t=40 es rentable.
c) ¿Existe algún periodo de tiempo, a partir de los 40 años, en el que la explotación es rentable? Razona tu respuesta.


Solución:

a) Destacar que f es una función polinómica que es continua y derivable en \mathbb R. Aunque en este ejercicio el dominio es [0,+∞). Para obtener su máximo calculamos sus puntos críticos:

f'(t)=\dfrac32-\dfrac{3t^2}{800}=0~;\\\\\dfrac{3t^2}{800}=\dfrac32~;\\\\t^2=400~;\\\\t=\pm20

Dado que t≥0, el único punto crítico es t=20 años. Caracterizamos este punto crítico utilizando el test de la derivada segunda:

f''(t)=-\dfrac{6t}{800}~;\\\\f''(20)=-0.15<0

Luego, en t=20 años la extracción de carbón es máxima y es de

f(20)=50 toneladas


b) Para t=40 años tenemos una extracción de

f(40)=30+\dfrac{3\cdot40}2-\dfrac{40^3}{800}=10 toneladas

Por tanto, ese año sí es rentable.


c) Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline t&(0,20)&(20,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(t)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(t)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Observamos que f decrece a partir de t=20 años. Veamos a qué valor:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}30+\dfrac{3t}2-\dfrac{t^3}{800}=+\infty-\infty=\lim_{x\rightarrow+\infty}-\dfrac{t^3}{800}=-\infty

Es decir, la función f no deja de decrecer y no está acotada inferiormente, luego, a partir de t=40 años la extracción deja de ser rentable y no vuelve a ser rentable nunca.