Una explotación minera extrae toneladas de carbón por año, donde la variable t indica el tiempo transcurrido, en años, desde el inicio de la explotación. Se pide:

a) Calcula en qué año se alcanza el máximo de extracción y cuál es dicho valor.
b) Si se necesita extraer como mínimo 10 toneladas por año para que la explotación sea rentable, estudia si en el año t=40 es rentable.
c) ¿Existe algún periodo de tiempo, a partir de los 40 años, en el que la explotación es rentable? Razona tu respuesta.

Solución:

a) Destacar que f es una función polinómica que es continua y derivable en . Aunque en este ejercicio el dominio es [0,+∞). Para obtener su máximo calculamos sus puntos críticos:

Dado que t≥0, el único punto crítico es t=20 años. Caracterizamos este punto crítico utilizando el test de la derivada segunda:

Luego, en t=20 años la extracción de carbón es máxima y es de

toneladas

b) Para t=40 años tenemos una extracción de

toneladas

Por tanto, ese año sí es rentable.

c) Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

Observamos que f decrece a partir de t=20 años. Veamos a qué valor:

Es decir, la función f no deja de decrecer y no está acotada inferiormente, luego, a partir de t=40 años la extracción deja de ser rentable y no vuelve a ser rentable nunca.

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