Problema 676

El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio es \Omega=\{a,b,c,d,e\}. Se sabe que P[a]=P[c]=\dfrac18,~P[d]=\dfrac14,~P[e]=\dfrac13. Dados los sucesos A=\{a,b,c\} y B=\{b,d,e\} y siendo \overline A el suceso contrario o complementario de A y \overline B el suceso contrario o complementario de B, calcula:

a) P[A\cap B].
b) P[A\cup\overline B].
c) P[\overline A\cap\overline B].
d) P[A/\overline B].
e) P[B/A].


Solución:

Sabemos que

P[a]+P[b]+P[c]+P[d]+P[e]=1

Por tanto:

P[b]=1-\dfrac18-\dfrac18-\dfrac14-\dfrac13=\dfrac16

Con los conjuntos definidos en el enunciado dibujamos el siguiente diagrama de Venn:

p676

a) Nos piden P[A\cap B]:

P[A\cap B]=P[b]=\dfrac16


b) Nos piden P[A\cup\overline B]:

P[A\cup\overline B]=P[A]=P[a]+P[b]+P[c]=\dfrac18+\dfrac16+\dfrac18=\dfrac5{12}


c) Nos piden P[\overline A\cap\overline B]. Utilizamos en primer lugar una de las leyes de Morgan:

P[\overline A\cap\overline B]=P[\overline{A\cup B}]=P[\phi]=0

puesto que no hay ningún elemento fuera de la unión de A y B.


d) Nos piden P[A/\overline B]:

P[A/\overline B]=\dfrac{P[A\cap\overline B]}{P[\overline B]}=\dfrac{P[a]+P[c]}{P[a]+P[c]}=1

Si no ha ocurrido B entonces es obligatorio que ocurra A.


e) Nos piden P[B/A]:

P[B/A]=\dfrac{P[B\cap A]}{P[A]}=\dfrac{P[b]}{P[a]+P[b]+P[c]}=\dfrac{\frac16}{\frac5{12}}=\dfrac25

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