Problema 676

📖Probabilidad CCSS, Selectividad Mat CCSS, Selectividad Mat IIDiagrama de Venn, Leyes de Morgan, Probabilidaddurán

El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio es $\Omega=\{a,b,c,d,e\}$ . Se sabe que $P[a]=P[c]=\dfrac18,~P[d]=\dfrac14,~P[e]=\dfrac13$ . Dados los sucesos $A=\{a,b,c\}$ y $B=\{b,d,e\}$ y siendo $\overline A$ el suceso contrario o complementario de A y $\overline B$ el suceso contrario o complementario de B, calcula:

a) $P[A\cap B]$ .
b) $P[A\cup\overline B]$ .
c) $P[\overline A\cap\overline B]$ .
d) $P[A/\overline B]$ .
e) $P[B/A]$ .

Solución:

Sabemos que

$P[a]+P[b]+P[c]+P[d]+P[e]=1$

Por tanto:

$P[b]=1-\dfrac18-\dfrac18-\dfrac14-\dfrac13=\dfrac16$

Con los conjuntos definidos en el enunciado dibujamos el siguiente diagrama de Venn:

p676

a) Nos piden $P[A\cap B]$ :

$P[A\cap B]=P[b]=\dfrac16$

b) Nos piden $P[A\cup\overline B]$ :

$P[A\cup\overline B]=P[A]=P[a]+P[b]+P[c]=\dfrac18+\dfrac16+\dfrac18=\dfrac5{12}$

c) Nos piden $P[\overline A\cap\overline B]$ . Utilizamos en primer lugar una de las leyes de Morgan:

$P[\overline A\cap\overline B]=P[\overline{A\cup B}]=P[\phi]=0$

puesto que no hay ningún elemento fuera de la unión de A y B.

d) Nos piden $P[A/\overline B]$ :

$P[A/\overline B]=\dfrac{P[A\cap\overline B]}{P[\overline B]}=\dfrac{P[a]+P[c]}{P[a]+P[c]}=1$

Si no ha ocurrido B entonces es obligatorio que ocurra A.

e) Nos piden $P[B/A]$ :

$P[B/A]=\dfrac{P[B\cap A]}{P[A]}=\dfrac{P[b]}{P[a]+P[b]+P[c]}=\dfrac{\frac16}{\frac5{12}}=\dfrac25$

♦

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