Problema 677

Una empresa produce dos tipos de cerveza artesanal, A y B. La demanda mínima de cerveza tipo A es de 200 litros diarios. La producción de cerveza tipo B es al menos el doble que la de tipo A. La infraestructura de la empresa no permite producir en total más de 900 litros diarios de cerveza. Los beneficios que obtiene por litro de A y B son 2 y 2.5 euros, respectivamente. ¿Cuántos litros diarios se han de producir de cada tipo para maximizar el beneficio? ¿Cuál es dicho beneficio máximo?


Solución:

Se trata de un problema de programación lineal.
Llamamos x a los litros de cerveza tipo A e y a los litros de cerveza tipo B que la empresa debe producir.
Escribimos las restricciones:

  • La demanda mínima de cerveza tipo A es 200 litros: x\geq200.
  • La producción de cerveza tipo B es al menos doble que la de tipo A: y\geq2x.
  • No se puede producir más de 900 litros de cerveza al día: x+y\leq900.

A estas restricciones añadimos las restricciones naturales x\geq0,~y\geq0.

A partir de las restricciones, escribimos las ecuaciones de las rectas, las representamos y definimos la región factible:

p677\bullet~x=200\\\bullet~y=2x\\\bullet~x+y=900\\\bullet~x=0\\\bullet~y=0

Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones:

A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=200\\y=2x\end{array}\right.\rightarrow A=(200,400)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=200\\x+y=900\end{array}\right.\rightarrow B=(200,700)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=2x\\x+y=900\end{array}\right.\rightarrow C=(300,600)

La función beneficios es: B(x,y)=2x+2.5y
Para calcular la producción que maximiza los beneficios evaluamos cada vértice en la función beneficio:

A\rightarrow B(200,400)=1400\\\\B\rightarrow B(200,700)=2150\\\\C\rightarrow C(300,600)=2100

Luego, el máximo beneficio se tiene en el vértice B, es decir, produciendo 200 litros de cerveza tipo A y 700 litros de cerveza tipo B. El beneficio obtenido asciende en este caso a 2150€.

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